大连“5+22”政策体系打造人才磁场

百度 　　把人民放在心中最高的位置，这是铿锵的宣示，更是坚定的行动。

Zobecněné funkce, neboli distribuce, p?edstavují velmi u?ite?ny nástroj nejen v matematice, ale p?edev?ím v pokro?ilych partiích moderní fyziky. Jedná se o spojité lineární funkcionály definované na speciálních mno?inách funkcí. Na těchto funkcionálech jsou dále zavedeny dodate?né operace jako derivace, konvoluce ?i Fourierova transformace.

Teorii zobecněnych funkcí vytvo?il a rozvinul francouzsky matematik Laurent Schwartz. Ji? p?edtím se ale objevily intuitivní koncepty objekt? s vlastnostmi zobecněnych funkcí. Typickym p?íkladem je Diracova $\scriptstyle \delta$-funkce.

Motivace zavedení pojmu

V první polovině dvacátého století zavedl anglicky teoreticky fyzik Paul Dirac formálně funkci $\scriptstyle \delta$ s následujícími vlastnostmi

$\delta (x)=0\ {\text{pro}}\ x\neq 0,$

$\int _{-\infty }^{+\infty }\delta (x)\mathrm {d} x=1.$

Aby mohl byt integrál nenulovy, tak se formálně "definuje" $\scriptstyle \delta (0)=+\infty$. Pojem $\scriptstyle \delta$-funkce Dirac zavedl více méně intuitivně. Vyborně se hodil pro popis fyzikálních jev?, se kterymi pracoval. Ve skute?nosti ale ?ádná taková funkce $\scriptstyle \delta$, která by splňovala vy?e uvedené vlastnosti, neexistuje. A? později toto intuitivní chápání up?esnil L. Schwartz, jen? rozvinul teorii zobecněnych funkcí. V rámci jeho teorie lze postavit pojem $\scriptstyle \delta$-funkce na pevny matematicky základ. Je ale nutné zavést jakousi "mezivrstvu" mezi defini?ním oborem funkce a jejími hodnotami. Zatímco intuitivně chápaná $\scriptstyle \delta$-funkce je definovaná na mno?ině reálnych ?ísel $\scriptstyle \mathbb {R}$ a její hodnoty jsou (více méně) opět reálná ?ísla, matematicky korektně definovaná $\scriptstyle \delta$-funkce zobrazuje z mno?iny jistych "pěkně se chovajících funkcí" do reálnych ?ísel. Zmíněné "pěkné" funkce samotné jsou pak definovány na "p?vodní" mno?ině $\scriptstyle \mathbb {R}$. Nem??eme u? tak dále mluvit o hodnotě $\scriptstyle \delta$-funkce v nějakém reálném bodě, nanejvy? o její hodnotě na nějaké konkrétní "pěkné" funkci.

Definice zobecněné funkce a související pojmy

Ne? budeme moci p?ikro?it k definici zobecněné funkce, musíme zavést několik pr?vodních pojm?. Zobecněná funkce bude jisty funkcionál definovany na jisté mno?ině funkcí.

Testovací funkce

Mějme p?irozené ?íslo $\scriptstyle n\in \mathbb {N}$. Ozna?me mno?inu v?ech hladkych funkcí s kompaktním nosi?em definovanych na $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$ jako $\scriptstyle {\mathcal {D}}\equiv {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})$ a nazyvejme ji prostor testovacích funkcí (ka?dou funkci z tohoto prostoru tedy nazyváme testovací funkce). Uva?ujme na tomto prostoru takovou topologii, v ní? posloupnost testovacích funkcí $\scriptstyle \{\varphi _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ konverguje k testovací funkci $\scriptstyle \varphi$ na prostoru $\scriptstyle {\mathcal {D}}$, právě kdy? mají funkce $\scriptstyle \{\varphi _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ stejnoměrně omezené nosi?e a pro ka?dy multiindex $\scriptstyle \alpha \in \mathbb {Z} _{+}^{n}$ je pro $\scriptstyle k\to \infty$ splněno

$\partial ^{\alpha }\varphi _{k}\rightrightarrows \partial ^{\alpha }\varphi \quad {\text{na}}\ \mathbb {R} ^{n},$

kde symbol $\scriptstyle \rightrightarrows$ zna?í stejnoměrnou konvergenci a symbol $\scriptstyle \partial ^{\alpha }$ ozna?uje parciální derivaci funkce podle proměnnych, jejich? index le?í v multiindexu $\scriptstyle \alpha$. Neboli

$\partial ^{\alpha }\varphi \equiv {\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x^{i_{1}}\,\ldots ,\,\partial x^{i_{n}}}}\varphi ,$

kde $\scriptstyle \alpha =(i_{1},\ldots ,i_{n})$ a $\scriptstyle |\alpha |\equiv i_{1}+\ldots +i_{n}$, $\scriptstyle (\forall j\in \{1,\ldots ,n\})(i_{j}\in \mathbb {N} )$.

V dal?ím je u?ite?né neuva?ovat zobecněné funkce definované na celém prostoru, ale jen na jeho podmno?ině. K tomu si zave?me následující pojem.

Nech? $\scriptstyle G$ je otev?ená podmno?ina $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$. Definujme prostor $\scriptstyle {\mathcal {D}}(G)$ jako mno?inu těch testovacích funkcí z $\scriptstyle {\mathcal {D}}$, jejich? nosi? le?í v $\scriptstyle G$. Obdobně jako u $\scriptstyle {\mathcal {D}}$ si na $\scriptstyle {\mathcal {D}}(G)$ zave?me konvergenci posloupnosti testovacích funkcí. O posloupnosti $\scriptstyle \{\varphi _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ testovacích funkcí z $\scriptstyle {\mathcal {D}}(G)$ ?ekneme, ?e konverguje k $\scriptstyle \varphi$ v prostoru $\scriptstyle {\mathcal {D}}(G)$, právě kdy? platí sou?asně:

1. $(\exists K\subset G,K\ {\text{kompaktní}})(\forall k\in \mathbb {N} )({\text{supp}}\ \varphi _{k}\subset K),$
2. $(\forall \alpha \in \mathbb {Z} _{+}^{n})(\partial ^{\alpha }\varphi _{k}\rightrightarrows \partial ^{\alpha }\varphi \ {\text{na}}\ G\ {\text{pro}}\ k\to \infty ).$

Symbolem $\scriptstyle {\text{supp}}\ \varphi$ ozna?ujeme nosi? funkce $\scriptstyle \varphi$.

Zobecněné funkce

Definujeme, ?e lineární zobrazení $\scriptstyle P:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}$, pop?. $\scriptstyle f:{\mathcal {D}}\to \mathbb {C}$, je spojité, právě kdy? toto zobrazení zobrazuje ka?dou posloupnost, která konverguje v $\scriptstyle {\mathcal {D}}$, opět na konvergentní posloupnost. Lineární funkcionál na prostoru testovacích funkcí $\scriptstyle {\mathcal {D}}(G)$, ktery je spojity ve smyslu p?edchozí věty, nazveme zobecněnou funkcí neboli distribucí. Mno?inu v?ech těchto zobecněnych funkcí ozna?íme $\scriptstyle {\mathcal {D}}'(G)$, pro $\scriptstyle G=\mathbb {R} ^{n}$ budeme pro odpovídající mno?inu zobecněnych funkcí pou?ívat ozna?ení $\scriptstyle {\mathcal {D}}'$. Hodnotu funkcionálu $\scriptstyle f$ na testovací funkci $\scriptstyle \varphi$ budeme (namísto obvyklého $\scriptstyle f(\varphi )$) zna?it $\scriptstyle (f,\varphi )$. Toto zna?ení nep?ipomíná zna?ení skalárního sou?inu náhodně, pro analogii viz regulární zobecněné funkce ní?e.

Linearita zobecněné funkce $\scriptstyle f\in {\mathcal {D}}'(G)$ znamená, ?e

$(\forall \varphi ,\psi \in {\mathcal {D}}(G))(\forall \alpha \in \mathbb {C} ){\big (}(f,\alpha \varphi +\psi )=\alpha (f,\varphi )+(f,\psi ){\big )}.$

Navíc na mno?ině $\scriptstyle {\mathcal {D}}'(G)$ lze klasickym zp?sobem zavést operace s?ítání dvou zobecněnych funkcí a jejich násobení komplexním ?íslem. A sice

$(\forall \varphi \in {\mathcal {D}}(G))(\forall \alpha \in \mathbb {C} )(\forall f,g\in {\mathcal {D}}'(G)){\big (}(\alpha f+g,\varphi )=\alpha (f,\varphi )+(g,\varphi ){\big )}.$

Je snadné ukázat, ?e mno?ina zobecněnych funkcí $\scriptstyle {\mathcal {D}}'(G)$ s vy?e zavedenymi operacemi s?ítání a násobení ?íslem tvo?í vektorovy prostor. Budeme-li navíc uva?ovat vyraz $\scriptstyle (f,\varphi )$, kde $\scriptstyle f\in {\mathcal {D}}'(G)$ a $\scriptstyle \varphi \in {\mathcal {D}}(G)$, jako hodnotu zobrazení $\scriptstyle (\cdot ,\cdot ):{\mathcal {D}}'(G)\times {\mathcal {D}}(G)\to \mathbb {C}$ dvou proměnnych s argumenty $\scriptstyle f$ a $\scriptstyle \varphi$, tak je toto zobrazení bilineární.

Definujme nyní konvergenci posloupnosti zobecněnych funkcí. ?ekneme, ?e posloupnost $\scriptstyle \{f_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ zobecněnych funkcí konverguje k $\scriptstyle f$ v prostoru $\scriptstyle {\mathcal {D}}'(G)$, právě kdy? pro ka?dou testovací funkci $\scriptstyle \varphi \in {\mathcal {D}}(G)$ existuje limita ?íselné posloupnosti funk?ních hodnot funkcí $\scriptstyle f_{k}$ na $\scriptstyle \varphi$ a tato posloupnost konverguje k $\scriptstyle (f,\varphi )$. V symbolech

$(\forall \varphi \in {\mathcal {D}}(G))(\exists \lim _{k\to \infty }(f_{k},\varphi )\wedge \lim _{k\to \infty }(f_{k},\varphi )=(f,\varphi )).$

Konvergence na prostoru $\scriptstyle {\mathcal {D}}'(G)$ je tedy zavedena ve slabém smyslu.

Reálné a komplexní zobecněné funkce

O zobecněné funkci ?ekneme, ?e je reálná, právě kdy? zobrazuje ka?dou reálnou testovací funkci na reálné ?íslo. Lze definovat i komplexně sdru?enou zobecněnou funkci $\scriptstyle {\bar {f}}$ k zobecněné funkci $\scriptstyle f\in {\mathcal {D}}'$ vztahem

$(\forall \varphi \in {\mathcal {D}})(({\bar {f}},\varphi )={\overline {(f,{\bar {\varphi }})}}).$

V tuto chvíli lze zavést i reálnou a imaginární ?ást zobecněné funkce $\scriptstyle f\in {\mathcal {D}}'(G)$ vztahy

${\text{Re}}\,f={\frac {f+{\bar {f}}}{2}},\quad {\text{Im}}\,f={\frac {f-{\bar {f}}}{2\mathrm {i} }}.$

Zobecněná funkce je zjevně reálná, právě kdy? je rovna své reálné ?ásti.

Nosi? zobecněné funkce

A?koli, jak ji? bylo zmíněno, nem??eme hovo?it o hodnotě zobecněné funkce v bodě, lze zavést pojem nosi?e zobecněné funkce. Ne? tak u?iníme, ?ekněme si, co chápeme pod tím, ?e je někde zobecněná funkce nulová. Mějme otev?enou mno?inu $\scriptstyle G\subset \mathbb {R} ^{n}$ a zobecněnou funkci $\scriptstyle f\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})$. Pak ?ekneme, ?e $\scriptstyle f$ je rovna nule na mno?ině $\scriptstyle G$, právě kdy?

$(\forall \varphi \in {\mathcal {D}}(G))\left((f,\varphi )=0\right).$

Navíc, ?ekneme, ?e $\scriptstyle f$ je rovna nule lokálně na mno?ině $\scriptstyle G$, právě kdy?

$(\forall x\in G)(\exists U=U^{\circ }\subset G,x\in U)(f\ {\text{je rovna nule na}}\ U).$

Je jasné, ?e pokud je $\scriptstyle f$ rovna nule na $\scriptstyle G$, tak je rovna nule i na ka?dé její podmno?ině $\scriptstyle {\tilde {G}}\subset G$. Lze ukázat i opa?né tvrzení, tj. je-li zobecněná funkce lokálně rovna nule na otev?ené mno?ině, tak je na této mno?ině rovna nule ve smyslu definic vy?e. Nyní u? m??eme p?ikro?it k definici nosi?e zobecněné funkce.

Uva?ujme v?echny $\scriptstyle G$ coby otev?ené podmno?iny $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$, na kterych je zobecněná funkce $\scriptstyle f\in {\mathcal {D}}'$ rovna nule. Ozna?me si sjednocení v?ech takovych mno?in jako $\scriptstyle {\mathcal {N}}(f)$. Tato mno?ina je z?ejmě největ?í otev?ená mno?ina, na ní? je $\scriptstyle f$ rovna nule. Její doplněk, tj. mno?inu $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}\setminus {\mathcal {N}}(f)$ pak nazyváme nosi? zobecněné funkce $\scriptstyle f$ a zna?íme $\scriptstyle {\text{supp}}f$.

Pokud má zobecněná funkce $\scriptstyle f$ omezeny nosi?, tak ?ekneme, ?e je $\scriptstyle f$ finitní.

Regulární zobecněné funkce

Mějme $\scriptstyle G$ otev?enou mno?inu v $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$ vybavenou Lebesgueovou mírou. O mě?itelné funkci $\scriptstyle F$ definované na $\scriptstyle G$ ?ekneme, ?e je lokálně integrovatelná, právě kdy? je splněno

$(\forall x\in G)(\exists U=U^{\circ }\subset G,x\in U)\left(\int _{U}|F(x)|\mathrm {d} ^{n}x<\,+\infty \right).$

Podobně jako u p-integrabilních funkcí i zde uva?ujme mno?inu v?ech lokálně integrovatelnych funkcí na $\scriptstyle G$, kterou vyfaktorizujeme podle mno?iny lokálně integrovatelnych funkcí nenulovych na mno?ině míry nula. Jinymi slovy, uva?ujme mno?inu integrabilních funkcí faktorizovanou podle mno?iny těch lokálně integrovatelnych funkcí $\scriptstyle F$, pro ně? $\scriptstyle \int _{U}|F(x)|\mathrm {d} ^{n}x=0$. Vznikly faktorprostor ozna?íme $\scriptstyle L_{\text{loc}}^{1}(G,\mathrm {d} ^{n}x)$, pop?. jen $\scriptstyle L_{\text{loc}}^{1}(G)$, a nazveme prostor lokálně integrovatelnych funkcí. Správně tedy prvky tohoto prostoru nejsou funkce samotné, ale jejich t?ídy ekvivalence. Jak je ale obvyklé, budeme dále pova?ovat za prvky prostoru lokálně integrovatelnych funkcí funkce samotné, ne jejich t?ídy ekvivalence.

Je té? dobré si uvědomit, ?e funkce $\scriptstyle F$ je lokálně integrovatelná na $\scriptstyle G$, právě kdy? pro ka?dou kompaktní podmno?inu $\scriptstyle K\subset G$ je zú?ení $\scriptstyle F|_{K}$ z prostoru $\scriptstyle L^{1}(K,\mathrm {d} ^{n}x)$.

Bu? nyní $\scriptstyle F\in L_{\text{loc}}^{1}(G)$ a definujme funkcionál $\scriptstyle f$ na $\scriptstyle {\mathcal {D}}(G)$ jako

$(\forall \varphi \in {\mathcal {D}}(G))\left((f,\varphi )\equiv \int _{G}F(x)\varphi (x)\mathrm {d} ^{n}x\right).$

Integrál vy?e je kone?ny, proto?e ve skute?nosti neintegruji p?es celou mno?inu $\scriptstyle G$, ale pro ka?dou konkrétní testovací funkci $\scriptstyle \varphi$ integruji v?dy jen p?es její nosi? $\scriptstyle {\text{supp}}\ \varphi \subset G$, co? je kompaktní mno?ina (viz poznámku p?ed vzorcem vy?e). Díky linearitě integrálu je funkcionál $\scriptstyle f$ té? lineární. Navíc je i spojity (ve smyslu konvergence zavedené vy?e). Mějme posloupnost $\scriptstyle \{\varphi _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ konvergující v $\scriptstyle {\mathcal {D}}(G)$ k funkci $\scriptstyle \varphi$. V?echny nosi?e $\scriptstyle {\text{supp}}\ \varphi _{k}$ jsou tedy podmno?inou nějaké kompaktní mno?iny $\scriptstyle K\subset G$ a pro limitu hodnot integrálu platí

$\lim _{k\to \infty }\int _{G}F(x)\varphi _{k}(x)\mathrm {d} ^{n}x=\lim _{k\to \infty }\int _{K}F(x)\varphi _{k}(x)\mathrm {d} ^{n}x.$

Nyní vyu?ijeme toho, ?e posloupnost $\scriptstyle \{\varphi _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ konverguje na $\scriptstyle K$ stejnoměrně (viz definici konvergence na prostoru testovacích funkcí), abychom mohli zaměnit limitu s integrálem. Dostáváme tedy

$\lim _{k\to \infty }\int _{K}F(x)\varphi _{k}(x)\mathrm {d} ^{n}x=\int _{K}F(x)(\lim _{k\to \infty }\varphi _{k}(x))\mathrm {d} ^{n}x=\int _{K}F(x)\varphi (x)\mathrm {d} ^{n}x=\int _{G}F(x)\varphi (x)\mathrm {d} ^{n}x.$

O funkcionálu $\scriptstyle f$ jsme tedy právě ukázali, ?e je dob?e definovany (integrál je pro ka?dou testovací funkci kone?ny), lineární a spojity. Jedná se tedy o zobecněnou funkci.

Dále definujeme, ?e obecná zobecněná funkce $\scriptstyle f\in {\mathcal {D}}'(G)$ je regulární zobecněná funkce, právě kdy? existuje lokálně integrovatelná funkce $\scriptstyle F\in L_{\text{loc}}^{1}(G)$ taková, ?e

$(\forall \varphi \in {\mathcal {D}}(G))\left((f,\varphi )\equiv \int _{G}F(x)\varphi (x)\mathrm {d} ^{n}x\right).$

Operace nad zobecněnymi funkcemi

Na prostoru zobecněnych funkcí $\scriptstyle {\mathcal {D}}'$ lze definovat zobrazení, je? lze chápat jako zobecnění operací nad klasickymi funkcemi. Jedná se nap?. o násobení hladkou funkcí, derivování ?i Fourierovu transformaci. Vzhledem k tomu, ?e zobecněné funkce tvo?í vektorovy prostor, je vyhodné, aby zobrazení definovaná na této mno?ině byla lineární.

Operace nad $\scriptstyle {\mathcal {D}}'$ p?itom zavádíme tak, ?e udáme, jak se zobecněná funkce vzniklá p?sobením takové operace chová na testovacích funkcích. Tento postup lze chápat i tak, ?e kdy? chceme definovat operaci $\scriptstyle T:{\mathcal {D}}'\to {\mathcal {D}}'$, tak se v podstatě sna?íme najít k ní duální operaci $\scriptstyle {\tilde {T}}$ p?sobící na prostoru testovacích funkcí $\scriptstyle {\mathcal {D}}$. P?esněji, pro dané $\scriptstyle T:{\mathcal {D}}'\to {\mathcal {D}}'$ udáme $\scriptstyle {\tilde {T}}:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}$ tak, aby

$(\forall \varphi \in {\mathcal {D}}){\big (}(Tf,\varphi )=(f,{\tilde {T}}\varphi ){\big )}.$

Od zobrazení $\scriptstyle {\tilde {T}}$ p?itom po?adujeme, aby p?irozenym zp?sobem zobecňovalo operace definované na oby?ejnych funkcích (viz oddíly Motivace zavedení u ka?dé operace ní?e). Vyjdeme z regulárních zobecněnych funkcí, jim? lze p?i?adit "oby?ejnou" funkci, zjistíme jak se na nich diskutovaná operace chová a podle toho definujeme danou operaci pro v?echny zobecněné funkce.

Mějme nyní $\scriptstyle f\in {\mathcal {D}}$ zobecněnou funkci. Platí, ?e spojitost zobrazení $\scriptstyle {\tilde {T}}$ ji? vynucuje spojitost funkcionálu $\scriptstyle Tf$. Mějme posloupnost $\scriptstyle \{\varphi _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ jdoucí k nule v prostoru $\scriptstyle {\mathcal {D}}$. Dále nech? $\scriptstyle {\tilde {T}}:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}$ je spojité zobrazení na prostoru testovacích funkcí. To znamená, ?e posloupnost $\scriptstyle \{{\tilde {T}}\varphi _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ té? konverguje k nule v $\scriptstyle {\mathcal {D}}$. Ze spojitosti $\scriptstyle f$ plyne

$\lim _{k\to \infty }(Tf,\varphi _{k})=\lim _{k\to \infty }(f,{\tilde {T}}\varphi _{k})=0.$

Uka?me je?tě, ?e operátor $\scriptstyle T:{\mathcal {D}}'\to {\mathcal {D}}'$ zavedeny pomocí pomocného zobrazení $\scriptstyle {\tilde {T}}:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}$ zp?sobem vy?e je nutně spojity. Bu? $\scriptstyle \{f_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ posloupnost zobecněnych funkcí konvergující k nule v prostoru $\scriptstyle {\mathcal {D}}'$. Pak

$(\forall \varphi \in {\mathcal {D}}){\big (}\lim _{k\to \infty }(Tf_{k},\varphi )=\lim _{k\to \infty }(f_{k},{\tilde {T}}\varphi )=0.{\big )}$

Afinní transformace sou?adnic

Afinní transformace na vektorovém prostoru je obecně transformace tvaru $\scriptstyle Ax+b$, kde $\scriptstyle A$ je lineární zobrazení a $\scriptstyle b$ je vektor posunutí. Zave?me nyní afinní transformaci pro zobecněné funkce.

Motivace zavedení

Aby byl pochopitelny zp?sob, jakym je afinní transformace pro zobecněné funkce zavedena, uve?me si p?íklad, na kterém demonstrujeme vlastnosti, které od transformace budeme po?adovat. Mějme regulární matici $\scriptstyle A\in {\text{GL}}(\mathbb {R} ,n)$, kde $\scriptstyle n\in \mathbb {N}$, vektor (resp. uspo?ádanou $\scriptstyle n$-tici) $\scriptstyle b\in \mathbb {R} ^{n}$, lokálně integrabilní funkci $\scriptstyle f\in L_{\text{loc}}^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ a funkci $\scriptstyle g$ definovanou p?edpisem

$g(x)=f(Ax+b).$

Uva?ujme dále libovolnou testovací funkci $\scriptstyle \varphi \in {\mathcal {D}}$. Klasickymi úpravami a větou o substituci v integrálu dostáváme

$(g,\varphi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)\varphi (x)\mathrm {d} ^{n}x=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(Ax+b)\varphi (x)\mathrm {d} ^{n}x={\frac {1}{|\det A|}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)\varphi (A^{-1}(y-b))\mathrm {d} ^{n}y={\frac {1}{|\det A|}}(f(y),\varphi (A^{-1}(y-b))).$

Díky tomuto vztahu je z?ejmá podoba následující definice.

Definice

Mějme zobecněnou funkci $\scriptstyle f\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})$. Afinní transformaci pro tuto funkci s maticí $\scriptstyle A\in {\text{GL}}(\mathbb {R} ,n)$ a vektorem posunutí $\scriptstyle b\in \mathbb {R} ^{n}$ definujeme vztahem

$(\forall \varphi \in {\mathcal {D}})\left((f(Ax+b),\varphi (x))\equiv {\frac {1}{|\det A|}}(f(y),\varphi (A^{-1}(y-b)))\right).$

Zde je t?eba chápat vyraz $\scriptstyle f(Ax+b)$ jako nedělitelny. Jak bylo uvedeno vy?e a jak vyplyvá z definice zobecněné funkce, nelze hovo?it o hodnotě funkce v nějakém bodě z $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$. Symbol $\scriptstyle f(Ax+b)$ p?edstavuje novou zobecněnou funkci. Vyraz v závorce "pouze" ozna?uje, jaké sou?adnice na $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$ jsme si zvolili a se kterymi zrovna pracujeme.

Korektnost definice

Ově?me, ?e vy?e uvedená definice je konzistentní s dosavadními definicemi. Zobrazení $\scriptstyle f(Ax+b)$ je z?ejmě funkcionál na testovacích funkcích, ktery je navíc lineární. Ově?me tedy jeho spojitost (ve smyslu konvergence). Mějme tedy libovolnou posloupnost testovacích funkcí $\scriptstyle \{\varphi _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset {\mathcal {D}}$, která konverguje k jisté testovací funkci $\scriptstyle \varphi$. Zde je dobré si uvědomit, ?e testovací funkce tvo?í lineární prostor a proto sta?í uva?ovat p?ípad $\scriptstyle \varphi \equiv 0$. Kdybychom toti? měli posloupnost $\scriptstyle \{{\tilde {\varphi }}_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset {\mathcal {D}}$ konvergující k $\scriptstyle {\tilde {\varphi }}\neq 0$, tak dostaneme

${\tilde {\varphi }}_{k}\to {\tilde {\varphi }}\quad \Leftrightarrow \quad {\tilde {\varphi }}_{k}-{\tilde {\varphi }}\to 0.$

Polo?íme-li $\scriptstyle \varphi _{k}\equiv {\tilde {\varphi }}_{k}-{\tilde {\varphi }}$, platí

$\varphi _{k}\to 0\equiv \varphi .$

Máme tedy bez újmy na obecnosti posloupnost $\scriptstyle \{\varphi _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset {\mathcal {D}}$ konvergující v prostoru $\scriptstyle {\mathcal {D}}$ k nule. Ově?me nejd?íve spojitost zobrazení $\scriptstyle T:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}$, které ka?dé testovací funkci p?i?adí jinou testovací funkci p?edpisem

$(T\varphi )(x)\equiv \varphi (Ax+b).$

Funkce $\scriptstyle (T\varphi )$ je skute?ně testovací funkce. Je toti? hladká (jedná se o slo?ení dvou hladkych zobrazení) a má kompaktní nosi? (samotná transformace $\scriptstyle Ax+b$ je difeomorfizmus a tedy p?evádí kompaktní mno?inu opět na kompaktní mno?inu). Zobrazení $\scriptstyle T$ je tedy dob?e definované.

Jak je to s jeho spojitostí? Uvědomíme-li si, jakym zp?sobem se derivují slo?ené funkce, je zjevné, ?e pro ka?dy multiindex $\scriptstyle \alpha \in \mathbb {Z} _{+}^{n}$ je parciální derivace $\scriptstyle \partial ^{\alpha }(T\varphi )$ nějakou lineární kombinací funkcí $\scriptstyle (\partial ^{\beta }\varphi )(Ax+b)$, kde multiindexy $\scriptstyle \beta$ splňují $\scriptstyle |\beta |=|\alpha |$. Jestli?e nyní máme posloupnost $\scriptstyle \{\varphi _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset {\mathcal {D}}$ konvergující v prostoru $\scriptstyle {\mathcal {D}}$ k nule, má posloupnost $\scriptstyle \{T\varphi _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ stejnoměrné omezené nosi?e a konverguje zjevně v?etně v?ech svych derivací stejnoměrně k nulové funkci. Tím jsme dokázali, ?e zobrazení $\scriptstyle T:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}$ je spojité.

Definujme si nyní pomocnou posloupnost testovacích funkci $\scriptstyle \{\psi _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$, kde $\scriptstyle \psi _{k}\equiv \varphi _{k}(A^{-1}(x-b))$. Tato posloupnosti konverguje v prostoru $\scriptstyle {\mathcal {D}}$ k nule a navíc podle definice afinní transformace platí

$(f(Ax+b),\varphi _{k}(x))={\frac {1}{|\det A|}}(f(x),\psi _{k}(x)).$

Pravá strana rovnice jde pro $\scriptstyle k\to \infty$ k nule, co? plyne ze spojitosti zobecněné funkce $\scriptstyle f$. Takto jsme ově?ili zatím jen spojitost funkcionálu $\scriptstyle f(Ax+b)$. Tj. ukázali jsme, ?e obraz zobecněné funkce p?i afinní transformaci je opět zobecněná funkce. Uka?me je?tě, ?e samotná afinní transformace jako zobrazení na zobecněnych funkcích je spojitá. Uva?ujme tedy zobrazení $\scriptstyle {\tilde {T}}:{\mathcal {D}}'\to {\mathcal {D}}'$ takové, ?e $\scriptstyle Tf(x)=f(Ax+b)$. Toto zobrazení je lineární. Chceme o něm ukázat, ?e je spojité. Za tímto ú?elem si tedy vezměme posloupnost zobecněnych funkcí $\scriptstyle \{f_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ konvergující v prostoru $\scriptstyle {\mathcal {D}}'$ k nulové zobecněné funkci. Pak

$(\forall \varphi \in {\mathcal {D}})(\lim _{k\to \infty }(f_{k},\varphi )=0).$

Tím pádem je tedy splněn i vztah dokazující spojitost $\scriptstyle {\tilde {T}}$, proto?e

$\lim _{k\to \infty }({\tilde {T}}f_{k},\varphi )=\lim _{k\to \infty }(f_{k},\varphi (A^{-1}(x-b)))=0.$

Násobení hladkou funkcí

Definujme si nyní násobení zobecněné funkce "oby?ejnou" hladkou funkcí. (Definovat násobení zobecněné funkce zobecněnou funkcí nará?í na problémy a obecně takové násobení definovat nelze.)

Motivace zavedení

Mějme otev?enou mno?inu $\scriptstyle G=G^{\circ }\in \mathbb {R} ^{n}$, hladkou funkci $\scriptstyle h\in C^{\infty }(G)$ a testovací funkci $\scriptstyle \varphi \in {\mathcal {D}}(G)$. Mějme dále funkci $\scriptstyle F\in L_{\text{loc}}^{1}(G)$. Je z?ejmé, ?e i $\scriptstyle hF\in L_{\text{loc}}^{1}(G)$. Potom

$(hF,\varphi )=\int _{G}(hF)\varphi \,\mathrm {d} ^{n}x=\int _{G}F(h\varphi )\,\mathrm {d} ^{n}x=(F,h\varphi ).$

Definice

Nech? $\scriptstyle G=G^{\circ }\in \mathbb {R} ^{n}$. Mějme dále $\scriptstyle f\in {\mathcal {D}}'(G)$ a $\scriptstyle h\in C^{\infty }(G)$. Pak

$(\forall \varphi \in {\mathcal {D}}(G)){\big (}(hf,\varphi )=(f,h\varphi ){\big )}.$

Korektnost definice

Pravá strana rovnice vy?e je dob?e definovaná, nebo? $\scriptstyle h\varphi \in {\mathcal {D}}(G)$. Násobek zobecněné funkce je tak dob?e definovany funkcionál na prostoru testovacích funkcí. Je z?ejmě i lineární. Ově?me, ?e je spojity, tj. ?e násobek zobecněné funkce hladkou funkcí je opět zobecněná funkce. Mějme nejprve $\scriptstyle \{\varphi _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ posloupnost testovacích funkcí takovou, ?e $\scriptstyle \lim _{k\to \infty }\varphi _{k}=0$ v prostoru $\scriptstyle {\mathcal {D}}(G)$. Pak v tomto prostoru k nulové funkci konverguje z?ejmě i posloupnost $\scriptstyle \{h\varphi _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$. Vynásobením funkcí $\scriptstyle h$ jsme toti? nosi?e jednotlivych funkcí $\scriptstyle \varphi _{k}$ nezvět?ili, a jsou tedy stále stejnoměrně omezené. Navíc jdou v?echny derivace $\scriptstyle \partial ^{\alpha }(h\varphi _{k})$ stejnoměrně k nule, proto?e z Leibnizova pravidla plyne, ?e lze funkci $\scriptstyle \partial ^{\alpha }(h\varphi _{k})$ vyjád?it pomocí derivací $\scriptstyle \partial ^{\mu }h$ a $\scriptstyle \partial ^{\nu }\varphi _{k}$ pro jisté multiindexy $\scriptstyle \mu ,\nu \in \mathbb {Z} _{+}^{n}$. Ty první jsou hladké funkce, ty druhé pak z p?edpokladu konvergence posloupnosti $\scriptstyle \{\varphi _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ v prostoru $\scriptstyle {\mathcal {D}}(G)$ konvergují stejnoměrně k nule. Máme tedy

$\lim _{k\to \infty }(hf,\varphi _{k})=\lim _{k\to \infty }(f,h\varphi _{k})=(f,\lim _{k\to \infty }(h\varphi _{k}))=0,$

co? dokazuje spojitost funkcionálu $\scriptstyle hf$ (ve druhé rovnosti jsme vyu?ili spojitosti funkcionálu $\scriptstyle f$).

Ově?ili jsme tak, ?e násobek zobecněné funkce hladkou funkcí je opět zobecněná funkce. Uka?me nyní, ?e samotné násobení, coby zobrazení na prostoru zobecněnych funkcí, je spojité (to, ?e je lineární, je z?ejmé). Ozna?me si toto zobrazení jako $\scriptstyle T$. Bu? $\scriptstyle \{f_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ posloupnost zobecněnych funkcí jdoucí k nule, tj. $\scriptstyle (\varphi \in {\mathcal {D}}(G))(\lim _{k\to \infty }(f_{k},\varphi )=0)$. Pak ale $\scriptstyle \lim _{k\to \infty }(Tf_{k},\varphi )=\lim _{k\to \infty }(f_{k},h\varphi )=0$, co? dokazuje spojitost.

Derivování zobecněnych funkcí

Na prostoru zobecněnych funkcí lze i korektně zavést operaci derivování. Od této zobecněné derivace po?adujeme, aby se pro "pěkné" funkce redukovala na bě?nou derivaci. P?esněji, chceme, aby zobecněná derivace dávala na funkcích ze t?ídy $\scriptstyle C^{1}$ té?e vysledky jako derivace oby?ejná. (Platí inkluze $\scriptstyle C^{1}\subset L_{\text{loc}}^{1}$.)

Motivace zavedení

Nech? $\scriptstyle G$ je otev?ená podmno?ina v $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$, $\scriptstyle f\in C^{1}(G)$ a $\scriptstyle \varphi \in {\mathcal {D}}(G)$. Ukotvěme si navíc jisty index $\scriptstyle i\in \{1,\ldots ,n\}$. Platí tedy, ?e $\scriptstyle f\in L_{\text{loc}}^{1}$ a navíc $\scriptstyle {\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\in L_{\text{loc}}^{1}$. Upravíme-li integrál v definici regulární zobecněné funkce metodou per partes, obdr?íme

$\left({\frac {\partial f}{\partial x^{i}}},\varphi \right)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\varphi \,\mathrm {d} ^{n}x=0-\int _{\mathbb {R} ^{n}}f{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{i}}}\,\mathrm {d} ^{n}x=-\left(f,{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{i}}}\right).$

Tento vztah vezmeme za definici zobecněné derivace.

Definice

Nech? $\scriptstyle G\subset \mathbb {R} ^{n}$ je otev?ená, $\scriptstyle f\in {\mathcal {D}}'(G)$ a $\scriptstyle i\in \{1,\ldots ,n\}$. Pak

$(\forall \varphi \in {\mathcal {D}}(G)){\bigg (}\left({\frac {\partial f}{\partial x^{i}}},\varphi \right)\equiv -\left(f,{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{i}}}\right){\bigg )}.$

P?itom v p?ípadě $\scriptstyle {\frac {\partial \varphi }{\partial x^{i}}}$ jde o bě?nou derivaci testovací funkce a vyraz $\scriptstyle {\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}$ je definován právě vzorcem vy?e ($\scriptstyle f$ je nyní ji? libovolná zobecněná funkce, ne obecně regulární). Derivaci zavedené tímto zp?sobem ?íkáme zobecněná derivace ?i derivace v zobecněném smyslu.

Korektnost definice

Za prvé, definice vy?e má dobry smysl. To lze snadno nahlédnout z toho, ?e zobrazení $\scriptstyle \partial ^{\alpha }:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}$ pro ka?dy multiindex $\scriptstyle \alpha \in \mathbb {Z} _{+}^{n}$ je spojité a lineární (platí $\scriptstyle \mathrm {supp} \,\partial ^{\alpha }\varphi \subset \mathrm {supp} \,\varphi$). Tak?e zobrazení $\scriptstyle {\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$ je spojité a zobrazení $\scriptstyle {\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}$ je spojity funkcionál definovany na $\scriptstyle {\mathcal {D}}(G)$. Derivace $\scriptstyle {\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$ je spojitá i v zobecněném smyslu. Mějme $\scriptstyle {\frac {\partial }{\partial x^{i}}}:{\mathcal {D}}'(G)\to {\mathcal {D}}'(G)$ a posloupnost $\scriptstyle \{f_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ jdoucí k nule v $\scriptstyle {\mathcal {D}}'$. Platí

$\lim _{k\to \infty }\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}f_{k},\varphi \right)=-\lim _{k\to \infty }\left(f_{k},{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{i}}}\right)=0.$

Pro zderivované zobecněné funkce také platí

$(\forall \alpha \in \mathbb {Z} _{+}^{n})(\forall f\in {\mathcal {D}}')(\mathrm {supp} \,\partial ^{\alpha }f\subset \mathrm {supp} \,f).$

Abychom ukázali vztah vy?e, nech? $\scriptstyle \varphi \in {\mathcal {D}}$ je testovací funkce, její? nosi? le?í v doplňku nosi?e zobecněné funkce $\scriptstyle f$. Neboli $\scriptstyle \mathrm {supp} \,\varphi \subset {\mathcal {N}}(f)$, kde $\scriptstyle {\mathcal {N}}(f)=\mathbb {R} ^{n}\setminus \mathrm {supp} \,f$. Pak $\scriptstyle \mathrm {supp} \,\partial ^{\alpha }\varphi \subset \mathrm {supp} \,\varphi \subset {\mathcal {N}}(f)$ a

$(\partial ^{\alpha }f,\varphi )=(-1)^{|\alpha |}(f,\partial ^{\alpha }\varphi )=0.$

To znamená, ?e $\scriptstyle \partial ^{\alpha }f=0$ na $\scriptstyle {\mathcal {N}}(f)$. Neboli $\scriptstyle {\mathcal {N}}(f)\subset {\mathcal {N}}(\partial ^{\alpha }f)$ a tedy $\scriptstyle \mathrm {supp} \,\partial ^{\alpha }f\subset \mathrm {supp} \,f$.

Leibnizovo pravidlo

A?koli nelze obecně zavést násobení dvou zobecněnych funkcí, m??eme uva?ovat násobek zobecněné funkce hladkou funkcí a její derivaci. Pro takovouto derivaci platí, stejně jako pro klasické funkce, Leibnizovo pravidlo, tj.

$(\forall h\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}))(\forall f\in {\mathcal {D}}')(\forall \alpha \in \mathbb {Z} _{+}^{n})\left(\partial ^{\alpha }(hf)=\sum _{\beta ,0\leq \beta \leq \alpha }{\frac {\alpha !}{\beta !(\alpha -\beta )!}}(\partial ^{\beta }h)(\partial ^{\alpha -\beta }f)\right).$

Vyraz vy?e lze dokázat matematickou indukcí, uka?me nyní její první ?ást pro $\scriptstyle |\alpha |=1$. Bu? $\scriptstyle \varphi \in {\mathcal {D}}$, pak

$\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}(hf),\varphi \right)=-\left(hf,{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{i}}}\right)=-\left(f,h{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{i}}}\right)=-\left(f,{\frac {\partial (h\varphi )}{\partial x^{i}}}\right)+\left(f,{\frac {\partial h}{\partial x^{i}}}\varphi \right)=\left({\frac {\partial f}{\partial x^{i}}},h\varphi \right)+\left({\frac {\partial h}{\partial x^{i}}}f,\varphi \right)=\left(h{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial h}{\partial x^{i}}}f,\varphi \right).$

Neboli

${\frac {\partial (hf)}{\partial x^{i}}}={\frac {\partial h}{\partial x^{i}}}f+h{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}.$

Tenzorovy sou?in zobecněnych funkcí

Stejně jako u klasickych funkcí m??eme i v p?ípadě zobecněnych funkcí definovat jejich tenzorovy sou?in. Toto zobrazení je p?ímym zobecněním tenzorového sou?inu klasickych funkcí.

Motivace zavedení

V p?ípadě klasickych funkcí je tenzorovy sou?in definován následovně. Bu? $\scriptstyle f\in L_{\text{loc}}^{1}(\mathbb {R} ^{m})$, $\scriptstyle g\in L_{\text{loc}}^{1}(\mathbb {R} ^{n})$, pak jejich tenzorovy sou?in je definován jako funkce $\scriptstyle f\otimes g\in L_{\text{loc}}^{1}(\mathbb {R} ^{m+n})$ p?sobící zp?sobem

$(f\otimes g)(x,y)\equiv f(x)\,g(y).$

Takto definované zobrazení vytvá?ející ze dvou funkcí jejich tenzorovy sou?in je mimo jiné aditivní v obou svych proměnnych. Na tenzorovy sou?in dvou jistych funkcí $\scriptstyle f\in L_{\text{loc}}^{1}(\mathbb {R} ^{m})$ a $\scriptstyle g\in L_{\text{loc}}^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ m??eme nahlí?et jako na regulární zobecněnou funkci na prostoru $\scriptstyle \mathbb {R} ^{m+n}$. Vezměme tedy funkci $\scriptstyle \varphi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{m+n})$, pak

$(f\,\otimes \,g,\varphi )=\int _{\mathbb {R} ^{m+n}}f(x)g(y)\varphi (x,y)\,\mathrm {d} ^{m}x\,\mathrm {d} ^{n}y=\int _{\mathbb {R} ^{m}}f(x)\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(y)\varphi (x,y)\,\mathrm {d} ^{n}y\right)\,\mathrm {d} ^{m}x=(f(x),(g(y),\varphi )),$

kde jsme vyu?ili Fubiniovy věty.

Roz?í?íme-li platnost vztahu vy?e pro v?echny zobecněné funkce $\scriptstyle f\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{m})$ a $\scriptstyle g\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})$, dostáváme následující definici, její? korektnost v?ak musí byt je?tě dokázána.

Definice

Nech? $\scriptstyle f\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{m})$ a $\scriptstyle g\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})$. Pak symbolem $\scriptstyle f\otimes g$ rozumíme zobecněnou funkci z prostoru $\scriptstyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{m+n})$ p?sobící na libovolnou $\scriptstyle \varphi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{m+n})$ následujícím zp?sobem

${\big (}f(x)\otimes g(y),\varphi (x,y){\big )}=\left(f(x),(g(y),\varphi (x,y))\right).$

Tuto zobecněnou funkci nazyváme tenzorovy sou?in zobecněnych funkcí $\scriptstyle {\boldsymbol {f}}$ a $\scriptstyle {\boldsymbol {g}}$.

Korektnost definice

Lze dokázat, ?e je-li $\scriptstyle g\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})$ a $\scriptstyle \varphi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{m+n})$, pak je funkce $\scriptstyle \psi (x)\equiv (g(y),\varphi (x,y))$ prvkem prostoru $\scriptstyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{m})$. Pravá strana defini?ní rovnosti vy?e má tedy dobry smysl. Dá se té? dokázat, ?e tenzorovy sou?in definovany vztahem vy?e je spojity funkcionál.

Vlastnosti

Uve?me některé d?le?ité vlastnosti tenzorového sou?inu ve smyslu zobrazení $\scriptstyle \otimes :{\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{m})\times {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{m+n})$. Pokud nebude uvedeno jinak, tak budeme uva?ovat $\scriptstyle f\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{m})$, $\scriptstyle g\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})$, $\scriptstyle h\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{p})$ a funkci $\scriptstyle \varphi$ v?dy libovolnou testovací funkci z odpovídajícího prostoru testovacích funkcí.

• bilinearita

${\begin{aligned}(\lambda f_{1}+f_{2})\otimes g\ &=&\lambda f_{1}\otimes g+f_{2}\otimes g\\f\otimes (\lambda g_{1}+g_{2})\ &=&\lambda f\otimes g_{1}+f\otimes g_{2}\end{aligned}}$

• asociativita

$(f\otimes g)\otimes h=f\otimes (g\otimes h)$

• komutativita

$f\otimes g=g\otimes f,\quad {\text{neboli}}\quad {\big (}f(x),(g(y),\varphi (x,y)){\big )}={\big (}g(y),(f(x),\varphi (x,y)){\big )}$

• spojitost v obou argumentech - Mějme posloupnost zobecněnych funkcí $\scriptstyle \{f_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ konvergujících k $\scriptstyle f$ v prostoru $\scriptstyle {\mathcal {D}}'$. Pak posloupnost $\scriptstyle \{f_{k}\otimes g\}_{k\in \mathbb {N} }$ konverguje k $\scriptstyle f\otimes g$. Podobně, pokud posloupnost $\scriptstyle \{g_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ konverguje k $\scriptstyle g$ v $\scriptstyle {\mathcal {D}}'$, tak $\scriptstyle \{f\otimes g_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ konverguje k $\scriptstyle f\otimes g$.

• derivace - Pro libovolny multiindex $\scriptstyle \alpha \in \mathbb {Z} _{+}^{m}$ platí (pro derivace podle proměnné $\scriptstyle y$ obdobně)

$\partial _{x}^{\alpha }{\big (}f(x)\otimes g(y){\big )}=\partial _{x}^{\alpha }f(x)\otimes g(y).$

• násobení hladkou funkcí - Bu? $\scriptstyle a\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{m})$. Pak

$a(x){\big (}f(x)\otimes g(y){\big )}={\big (}a(x)f(x){\big )}\otimes g(y).$

• transforma?ní vlastnost - Bu? $\scriptstyle b\in \mathbb {R} ^{m}$. Pak

${\big (}f\otimes g{\big )}(x+b,y)=f(x+b)\otimes g(y).$

D?kazy zmíněnych vlastností

• Bilinearita a asociativita

Bilinearita plyne ihned z p?íslu?nych definic. Zobecněné funkce tvo?í lineární vektorovy prostor. Pro d?kaz asociativity sta?í uvá?it

${\big (}(f(x)\otimes g(y))\otimes h(z),\varphi (x,y,z){\big )}={\big (}f(x),(g(y),(h(z),\varphi (x,y,z))){\big )}={\big (}f(x)\otimes (g(y)\otimes h(z)),\varphi (x,y,z){\big )}.$

• Komutativita

Nejd?íve uva?me testovací funkce následujícího tvaru

$\omega (x,y)=\sum _{j=1}^{N}u_{j}(x)\otimes v_{j}(y),$

kde $\scriptstyle u_{j}\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{m})$, $\scriptstyle v_{j}\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})$ a $\scriptstyle N$ je libovolné p?irozené ?íslo. Snadno nahlédneme, ?e funkce takovéhoto tvaru tvo?í vektorovy podprostor v prostoru $\scriptstyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{m+n})$. Uká?eme nejprve, ?e tenzorovy sou?in zú?eny na tento podprostor je komutativní zobrazení. Proto?e jsou zobecněné funkce lineární zobrazení, m??eme se p?i d?kazu bez újmy na obecnosti omezit na testovací funkce speciálního tvaru $\scriptstyle \varphi =u\otimes v$, kde $\scriptstyle u\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{m})$ a $\scriptstyle v\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})$. Pro ně platí

${\Bigg (}f(x),{\Big (}g(y),{\big (}u\,\otimes \,v{\big )}(x,y){\Big )}{\Bigg )}={\Bigg (}f(x),{\Big (}g(y),u(x)\,v(y){\Big )}{\Bigg )}={\Big (}f(x),u(x){\Big )}{\Big (}g(y),v(y){\Big )}={\Bigg (}g(y),{\Big (}f(x),u(x)\,v(y){\Big )}{\Bigg )}={\Bigg (}g(y),{\Big (}f(x),{\big (}u\,\otimes \,v{\big )}(x,y){\Big )}{\Bigg )}.$

Lze té? dokázat d?le?ité tvrzení, ?e vektorovy podprostor tvo?eny funkcemi definovanymi vy?e je husty v prostoru $\scriptstyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{m+n})$. To znamená, ?e jakoukoli funkci z $\scriptstyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{m+n})$ m??eme vyjád?it jako limitu posloupnosti funkcí tvaru sumy, viz vy?e. Proto?e je tenzorovy sou?in spojité zobrazení dostáváme limitním p?echodem vztah komutativity pro libovolnou testovací funkci. Konkrétně, mějme zobecněné funkce $\scriptstyle f\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{m})$, $\scriptstyle g\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})$ a testovací funkci $\scriptstyle \varphi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{m+n})$. Dále nech? $\scriptstyle \{\varphi _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ je posloupnost funkcí tvaru sumy vy?e konvergující k $\scriptstyle \varphi$ v prostoru $\scriptstyle {\mathcal {D}}$. Pak

${\Big (}f(x),{\big (}g(y),\varphi (x,y){\big )}{\Big )}=\lim _{k\to \infty }{\Big (}f(x),{\big (}g(y),\varphi _{k}(x,y){\big )}{\Big )}=\lim _{k\to \infty }{\Big (}g(y),{\big (}f(x),\varphi _{k}(x,y){\big )}{\Big )}={\Big (}g(y),{\big (}f(x),\varphi (x,y){\big )}{\Big )}$,

kde jsme vyu?ili toho, ?e na funkcích $\scriptstyle \varphi _{k}$ tenzorovy sou?in komutuje, jak jsme ově?ili vy?e. Máme tak dokázánu komutativitu pro jakoukoli testovací funkci.

• Spojitost v obou argumentech

Uka?me platnost tvrzení pro první argument. Z komutativity bude ji? tvrzení platit i pro argument druhy:

$\lim _{k\to \infty }{\big (}f_{k}(x)\otimes g(y),\varphi (x,y){\big )}=\lim _{k\to \infty }{\big (}f_{k}(x),(g(y),\varphi (x,y)){\big )}={\big (}f(x),(g(y),\varphi (x,y)){\big )}={\big (}f(x)\otimes g(y),\varphi (x,y){\big )}.$

• Derivace

Mějme zobecněnou funkci $\scriptstyle g\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})$ a testovací funkci $\scriptstyle \varphi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{m+n})$, pak lze ukázat, ?e funkce $\scriptstyle \psi (x)=(g(y),\varphi (x,y))$ le?í v $\scriptstyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{m})$ a splňuje pro libovolné $\scriptstyle \alpha \in \mathbb {Z} _{+}^{m}$ vztah

$\partial ^{\alpha }\psi (x)=(g(y),\partial _{x}^{\alpha }\varphi (x,y)).$

P?i?azení $\scriptstyle \varphi \mapsto \psi$ je navíc spojité. Vyu?itím tohoto vztahu m??eme psát

${\Big (}\partial _{x}^{\alpha }(f(x)\otimes g(y)),\varphi (x,y){\Big )}=(-1)^{|\alpha |}{\Big (}f(x)\otimes g(y),\partial _{x}^{\alpha }\varphi (x,y){\Big )}=(-1)^{|\alpha |}{\Big (}f(x),(g(y),\partial _{x}^{\alpha }\varphi (x,y)){\Big )}=(-1)^{|\alpha |}{\Big (}f(x),\partial _{x}^{\alpha }(g(y),\varphi (x,y)){\Big )}={\Big (}\partial _{x}^{\alpha }f(x),(g(y),\varphi (x,y)){\Big )}={\Big (}\partial _{x}^{\alpha }f(x)\otimes g(y),\varphi (x,y){\Big )}.$

• Násobení hladkou funkcí a transforma?ní vlastnost

Pro násobení hladkou funkcí ihned dostáváme

${\Big (}a(x)(f(x)\otimes g(y)),\varphi (x,y){\Big )}={\Big (}f(x)\otimes g(y),a(x)\varphi (x,y){\Big )}={\Big (}f(x),(g(y),a(x)\varphi (x,y)){\Big )}={\Big (}f(x),a(x)(g(y),\varphi (x,y)){\Big )}={\Big (}a(x)f(x),(g(y),\varphi (x,y)){\Big )}={\Big (}a(x)f(x)\otimes g(y),\varphi (x,y){\Big )}.$

Pro transforma?ní vlastnost v dokazovaném tvrzení pak

${\Big (}(f\otimes g)(x+b,y),\varphi (x,y){\Big )}={\Big (}f(x)\otimes g(y),\varphi (x-b,y){\Big )}={\Big (}f(x),(g(y),\varphi (x-b,y)){\Big )}={\Big (}f(x+b),(g(y),\varphi (x,y){\Big )}={\Big (}f(x+b)\otimes g(y),\varphi (x,y){\Big )}.$

P?íklady zobecněnych funkcí

Diracova delta funkce

Podrobněj?í informace naleznete v ?lánku Diracovo delta.

Uva?ujme lineární funkcionál $\scriptstyle \delta$ p?sobící na mno?ině $\scriptstyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})$ zp?sobem

$(\forall \varphi \in {\mathcal {D}})((\delta ,\varphi )=\varphi (0)).$

Tento funkcionál je spojity. Platí toti?, ?e ka?dá posloupnost testovacích funkcí $\scriptstyle \{\varphi _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ konvergující k nulové funkci splňuje $\scriptstyle \lim _{k\to \infty }\varphi _{k}=0$. Funkcionál $\scriptstyle \delta$ je tedy zobecněná funkce z $\scriptstyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})$, kterou nazyváme Diracova $\scriptstyle {\boldsymbol {\delta }}$-funkce.

Vlastnosti

Vlastnosti prostoru testovacích funkcí

• Nech? $\scriptstyle G\subset \mathbb {R} ^{n}$ a $\scriptstyle p\in [1,+\infty )$. Pak prostor $\scriptstyle {\mathcal {D}}(G)$ je husty v prostoru $\scriptstyle p$-integrabilních funkcí $\scriptstyle L^{p}(G,\mathrm {d} ^{n}x)$. Neboli (vyraz $\scriptstyle {\overline {(\cdot )}}_{p}$ zna?í uzávěr v??i $\scriptstyle p$-normě)

$(\forall \,G=G^{\circ }\subset \mathbb {R} ^{n})(\forall p\in [1,+\infty ))({\overline {({\mathcal {D}}(G))}}_{p}=L^{p}(G,\mathrm {d} ^{n}x)).$

Regularizace

S některymi funkcemi je vyhodné pracovat jako se zobecněnymi funkcemi. U některych funkcí ale nastává problém, ?e je nelze jako zobecněné funkce p?ímo chápat, proto?e nejsou lokálně integrovatelné a nemohou definovat ?ádnou regulární zobecněnou funkci. Tato obtí? se obchází pomocnou procedurou, které se ?íká regularizace. Ta spo?ívá v tom, ?e si danou funkci lehce upravíme na jí podobnou funkci, kterou ji? za zobecněnou funkci chápat lze.

Méně formálně ?e?eno m??eme za lehkou úpravu nap?íklad pova?ovat vhodné p?i?tení malého parametru k argumentu p?vodní funkce. Takto upravená funkce ji? m??e byt lokálně integrovatelná, definuje tedy zobecněnou funkci. Tu m??eme pustit na testovací funkci a obdr?íme smysluplny (kone?ny) vysledek závisející na na?em uměle vlo?eném malém parametru. Tento parametr pak m??eme (v některych p?ípadech) polo?it rovny nule a tvá?it se, ?e jsme ho v?bec nepou?ili.

Regularizace funkce ¹?_x

Funkce $\scriptstyle {\frac {1}{x}}$ se vyskytuje v mnoha oblastech nejen matematiky, ale p?edev?ím fyziky. Za v?echny jmenujme nap?. Coulomb?v ?i gravita?ní potenciál. Je tedy nutné s touto funkcí umět dob?e zacházet a vyu?ívat jejích vlastností. Z pohledu zobecněnych funkcí ale nastává problém v tom, ?e tuto funkci nelze chápat jako regulární zobecněnou funkci. Je toti? sice kromě nuly definovaná na celém reálném oboru $\scriptstyle \mathbb {R}$, není ale lokálně integrovatelná. Je zde tedy snaha o to tuto funkci nějakym zp?sobem regularizovat. V praxi se vyskytují p?edev?ím dva typy regularizace:

1. regularizace integrálem ve smyslu hlavní hodnoty,
2. regularizace p?i?tením malého parametru.

Pro bli??í popis obou postup? viz ní?e.

Regularizace integrálem ve smyslu hlavní hodnoty

Cely postup spo?ívá v tom, ?e z mno?iny, p?es kterou integrujeme v definici regulární zobecněné funkce, vyjmeme jistá (malá) symetrická okolí singulárních bod? o poloměru $\scriptstyle \varepsilon$. P?vodně lokálně neintegrabilní funkci lze nyní na této upravené mno?ině po vynásobení testovací funkcí zintegrovat (dostaneme konvergentní integrál). Vysledek integrace nyní závisí na parametru $\scriptstyle \varepsilon$. Tento parametr následně po?leme k nule a za vysledek p?sobení zregularizované funkce $\scriptstyle {\frac {1}{x}}$ na testovací funkci prohlásíme vysledek této limity.

P?esněji uva?ujme kladny reálny parametr $\scriptstyle \varepsilon >0$ a definujme posloupnost pomocnych funkcí $\scriptstyle \{f_{\varepsilon }\}_{\varepsilon \in \mathbb {R} }$ následujícím zp?sobem:

$f_{\varepsilon }(x)\equiv \left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{x}}&\quad {\text{pro}}\quad |x|>\varepsilon \\0&\quad {\text{pro}}\quad |x|<\varepsilon \end{matrix}}\right.$

Ka?dá z funkcí $\scriptstyle f_{\varepsilon }$ je z?ejmě ji? lokálně integrovatelná a m??eme pomocí ní tedy zavést regulární zobecněnou funkci, kterou si pro jednoduchost opět ozna?íme $\scriptstyle f_{\varepsilon }$. Její p?sobení na libovolnou testovací funkci $\scriptstyle \varphi \in {\mathcal {D}}$ vypadá takto:

$(f_{\varepsilon },\varphi )=\int _{\mathbb {R} \setminus (-\varepsilon ,\varepsilon )}{\frac {\varphi (x)}{x}}\mathrm {d} x.$

Uva?ujme nyní limitu $\scriptstyle \lim _{\varepsilon \to 0+}(f_{\varepsilon },\varphi )$ o ní? lze ukázat, ?e existuje. Tento vyraz m??eme dále upravovat

$\lim _{\varepsilon \to 0+}\int _{\mathbb {R} \setminus (-\varepsilon ,\varepsilon )}{\frac {\varphi (x)}{x}}\mathrm {d} x=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int _{-\infty }^{-\varepsilon }{\frac {\varphi (x)}{x}}\mathrm {d} x+\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {\varphi (x)}{x}}\mathrm {d} x\right).$

Nyní v prvním integrálu napravo provedeme substituci $\scriptstyle x\to -x$, co? nás p?ivede na celkovy tvar

$\lim _{\varepsilon \to 0+}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {\varphi (x)-\varphi (-x)}{x}}\mathrm {d} x.$

Abychom mohli tento vyraz zjednodu?it, rádi bychom provedli limitu a místo $\scriptstyle \varepsilon$ v dolní mezi integrálu napsali nulu. Prozkoumejme, zda to m??eme udělat. Nejprve si v?imneme, ?e

$\lim _{x\to 0}{\frac {\varphi (x)-\varphi (-x)}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\varphi (x)-\varphi (0)}{x}}\,+\,\lim _{x\to 0}{\frac {\varphi (0)-\varphi (-x)}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\varphi (x)-\varphi (0)}{x}}\,+\,\lim _{-x\to 0}{\frac {\varphi (-x)-\varphi (0)}{-x}}=2\varphi '(0).$

Funkce $\scriptstyle g_{\varphi }$ definovaná p?edpisem

$g_{\varphi }(x)\equiv \left\{{\begin{matrix}{\frac {\varphi (x)-\varphi (-x)}{x}}&\quad {\text{pro}}\quad x\neq 0\\2\varphi '(0)&\quad {\text{pro}}\quad x=0\end{matrix}}\right.$

je tedy spojitá na celém $\scriptstyle \mathbb {R}$, p?edev?ím ale v nule u? nenastává singularita. Jedná se tedy o omezenou funkci s kompaktním nosi?em v $\scriptstyle \mathbb {R}$. Nebo? je integrál spojitou funkcí své meze, tak skute?ně m??eme provést danou limitu (integrál s nulou v dolní mezi z?stane kone?ny) s vysledkem

$\lim _{\varepsilon \to 0+}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {\varphi (x)-\varphi (-x)}{x}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }{\frac {\varphi (x)-\varphi (-x)}{x}}\mathrm {d} x.$

Kone?ně definujme zobrazení $\scriptstyle \mathrm {P} ({\frac {1}{x}})$, které dané testovací funkci $\scriptstyle \varphi \in {\mathcal {D}}$ p?i?adí integrál za poslední rovností vy?e. Máme tedy zobrazení

$\mathrm {P} {\Big (}{\frac {1}{x}}{\Big )}:\varphi \to \int _{0}^{\infty }{\frac {\varphi (x)-\varphi (-x)}{x}}\mathrm {d} x.$

O tomto zobrazení jsme si vy?e ukázali, ?e je dob?e definované. Z?ejmě se také jedná o funkcionál (testovací funkci p?i?azuje ?íslo). Je triviální ově?it, ?e je tento funkcionál lineární. Jednodu?e se té? doká?e, ?e je i spojity. P?edstavuje tedy zobecněnou funkci.

Pro funkci $\scriptstyle {\frac {1}{x}}$ jsme tak její regularizací nalezli zobecněnou funkci $\scriptstyle \mathrm {P} ({\frac {1}{x}})$, co? byl ná? cíl.

Zmiňme se je?tě o názvu této procedury. Ten plyne z toho, ?e se limitě

$\lim _{\varepsilon \to 0+}\int _{\mathbb {R} \setminus (-\varepsilon ,\varepsilon )}F(x)\mathrm {d} x\equiv \mathrm {Vp} \int _{\mathbb {R} }F(x)\,\mathrm {d} x$

obecně ?íká vypo?et integrálu ve smyslu hlavní hodnoty.

Celkově tak máme

$(\forall \varphi \in {\mathcal {D}})\left({\Big (}\mathrm {P} {\Big (}{\frac {1}{x}}{\Big )},\varphi {\Big )}=\mathrm {Vp} \int _{\mathbb {R} }{\frac {\varphi (x)}{x}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }{\frac {\varphi (x)-\varphi (-x)}{x}}\mathrm {d} x\right).$

Regularizace p?i?tením malého parametru

Nyní se pokusíme funkci $\scriptstyle {\frac {1}{x}}$ zregularizovat tak, ?e k jejímu argumentu p?i?teme (maly) parametr. Konkrétně uva?ujme jisté $\scriptstyle \varepsilon >0$ a funkce $\scriptstyle {\frac {1}{x+\mathrm {i} \varepsilon }}$, pop?. $\scriptstyle {\frac {1}{x-\mathrm {i} \varepsilon }}$. P?e?li jsme tak od reálné funkce $\scriptstyle {\frac {1}{x}}$ ke dvěma vzájemně komplexně sdru?enym funkcím, které u? jsou lokálně integrovatelné (jsou dokonce hladké) a definují tedy regulární zobecněnou funkci. Jak ní?e ově?íme, provedeme-li limitu $\scriptstyle \varepsilon \to 0^{+}$, dostaneme dob?e definované zobecněné funkce. Ty se symbolicky zna?í $\scriptstyle {\frac {1}{x+\mathrm {i} 0}}$, pop?. $\scriptstyle {\frac {1}{x-\mathrm {i} 0}}$, a platí

$(\forall \varphi \in {\mathcal {D}})\left({\Big (}{\frac {1}{x\pm \mathrm {i} 0}},\varphi (x){\Big )}=\lim _{\varepsilon \to 0+}\int _{\mathbb {R} }{\frac {\varphi (x)}{x\pm \mathrm {i} \varepsilon }}\,\mathrm {d} x\right).$

Omezíme se nyní na p?ípad $\scriptstyle {\frac {1}{x+\mathrm {i} \varepsilon }}$ a ově?íme existenci limity ve vyrazu vy?e. D?kaz pro funkci $\scriptstyle {\frac {1}{x-\mathrm {i} \varepsilon }}$ je zcela stejny, zaměníme-li $\scriptstyle \mathrm {i} \to -\mathrm {i}$.

Nejprve upravíme zlomek v integrandu vy?e následujícím zp?sobem

${\frac {1}{x+\mathrm {i} \varepsilon }}={\frac {x}{x^{2}+\varepsilon ^{2}}}-{\frac {\mathrm {i} \varepsilon }{x^{2}+\varepsilon ^{2}}},$

rozlo?ili jsme ho tedy na reálnou a imaginární ?ást. Spo?těme nyní pat?i?ny integrál pro ka?dy ze s?ítanc? zvlá??. Pro první ?len dostáváme

$\int _{\mathbb {R} }{\frac {x\varphi (x)}{x^{2}+\varepsilon ^{2}}}\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{0}{\frac {x\varphi (x)}{x^{2}+\varepsilon ^{2}}}\,\mathrm {d} x+\int _{0}^{\infty }{\frac {x\varphi (x)}{x^{2}+\varepsilon ^{2}}}\,\mathrm {d} x.$

Nyní substituujeme $\scriptstyle x\to -x$ v prvním integrálu a oba integrály se?teme s vysledkem

$\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{x^{2}+\varepsilon ^{2}}}(\varphi (x)-\varphi (-x))\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{x^{2}+\varepsilon ^{2}}}{\frac {\varphi (x)-\varphi (-x)}{x}}\,\mathrm {d} x.$

Zanalyzujme nyní integrand tohoto integrálu. První zlomek je ur?itě men?í ne? jedna. Navíc, funkci

$g_{\varphi }(x)={\frac {\varphi (x)-\varphi (-x)}{x}}$

lze spojitě dodefinovat v nule (viz vy?e). Tato funkce má navíc omezeny nosi?, co? implikuje její integrabilitu. Integrand tedy splňuje Lebesgueovu větu a m??eme zaměnit limitu a integrál. Neboli

$\lim _{\varepsilon \to 0+}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{x^{2}+\varepsilon ^{2}}}{\frac {\varphi (x)-\varphi (-x)}{x}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }{\frac {\varphi (x)-\varphi (-x)}{x}}\,\mathrm {d} x.$

Popasujme se nyní s druhym ?lenem, pro něj? dostáváme

$-\mathrm {i} \varepsilon \int _{\mathbb {R} }{\frac {\varphi (x)}{x^{2}+\varepsilon ^{2}}}\,\mathrm {d} x.$

Tento vyraz si upravíme substitucí $\scriptstyle x\to \varepsilon x$ na tvar

$-\mathrm {i} \varepsilon \int _{\mathbb {R} }{\frac {\varphi (\varepsilon x)}{\varepsilon ^{2}x^{2}+\varepsilon ^{2}}}\,\varepsilon \mathrm {d} x=-\mathrm {i} \int _{\mathbb {R} }{\frac {1}{x^{2}+1}}\varphi (\varepsilon x)\,\mathrm {d} x.$

Zlomek v integrandu p?edstavuje integrovatelnou funkci a absolutní hodnotu vyrazu $\scriptstyle \varphi (\varepsilon x)$ lze seshora odhadnout konstantou, je? nezávisí na parametru $\scriptstyle \varepsilon$. M??eme tedy opět vyu?ít Lebesgueovy věty, zaměnit tedy limitu a integrál, a máme

$-\mathrm {i} \lim _{\varepsilon \to 0+}\int _{\mathbb {R} }{\frac {1}{x^{2}+1}}\varphi (\varepsilon x)\,\mathrm {d} x=-\mathrm {i} \int _{\mathbb {R} }{\frac {1}{x^{2}+1}}\varphi (0)\,\mathrm {d} x=-\mathrm {i} \pi \varphi (0).$

Vrátíme-li se k p?vodnímu vyrazu, tak se?tením vy?e odvozenych vysledk? dostáváme

$\lim _{\varepsilon \to 0+}\int _{\mathbb {R} }{\frac {\varphi (x)}{x+\mathrm {i} \varepsilon }}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }{\frac {\varphi (x)-\varphi (-x)}{x}}\,\mathrm {d} x-\mathrm {i} \pi \varphi (0)=\left(\mathrm {P} {\Big (}{\frac {1}{x}}{\Big )},\varphi (x)\right)-\mathrm {i} \pi (\delta ,\varphi ).$

V poslední rovnosti jsme vyu?ili definice Diracovy $\scriptstyle \delta$-funkce a zobecněné funkce definované v prvním zp?sobu regularizace vy?e. Celkově tedy pro obě vzájemně komplexně sdru?ené regularizované funkce máme vztahy

${\frac {1}{x\pm \mathrm {i} 0}}=\mathrm {P} {\Big (}{\frac {1}{x}}{\Big )}\mp \mathrm {i} \delta (x),$

které se nazyvají Sochockého vzorce, pop?. Sochockého formule.

Pou?ití

Pou?ití ve fyzice

Viz bodovy náboj, kvantová teorie pole, kvantová mechanika, atd.

Pou?ití v matematice

?e?ení parciálních dif. rovnic, Greenovy funkce...

Literatura

• SCHWARTZ, Laurent. Matematické metody ve fyzice. Praha: SNTL, 1972. 
• ??OVí?EK, Pavel. Metody matematické fyziky I - Teorie zobecněnych funkcí. Praha: Vydavatelství ?VUT, 2004. ISBN 80-01-02948-4.  – skripta FJFI ?VUT

Portály: Matematika