和布克赛尔县驻村工作队拉运饲草助村民接羔育幼

Obraz a jádro lineárního zobrazení $f$ z prostoru $V$ do prostoru $W$.

百度 制胜空天！中国空军轰-6K等多型战机远洋训练战巡南海！2018年3月25日15:11来源:人民日报原标题：制胜空天！中国空军轰-6K等多型战机远洋训练战巡南海！　　中国空军新闻发言人申进科大校3月25日发布消息，中国空军近日出动轰-6K、苏-30等多型多架战机飞越宫古海峡，成体系前出西太平洋开展实战化军事训练；同时组织轰-6K、苏-35等多型多架战机飞赴南海，实施联合战斗巡航。

V lineární algeb?e se termínem jádro lineárního zobrazení ozna?uje podprostor tvo?eny vzory nulového vektoru.

Jádrem matice se nazyvá mno?ina v?ech ?e?ení homogenní soustavy lineárních rovnic, kde daná matice tvo?í matici soustavy.

Pro jádro se pou?ívá té? název nulovy prostor. Zna?í se $\operatorname {ker}$ (z anglického kernel - ?jádro, pecka“ nebo ?zrno“, resp. německého das Kern), p?ípadně $\operatorname {Kern}$, $\operatorname {nul}$, ${\mathcal {N}}$, $\operatorname {Null}$ apod.

Dimenze jádra se nazyvá nulita nebo defekt.

Jádro se vyu?ívá p?i popisu mno?iny ?e?ení homogenních i nehomogenních soustav lineárních rovnic.

Definice

Je-li dána matice ${\boldsymbol {A}}$ typu $m\times n$ nad tělesem $T$ (nap?. reálnymi ?i komplexními ?ísly), potom jádrem matice ${\boldsymbol {A}}$ se nazyvá mno?ina v?ech ?e?ení homogenní soustavy lineárních rovnic ${\boldsymbol {Ax}}={\boldsymbol {0}}$. Zna?í se $\operatorname {ker} {\boldsymbol {A}}$ a formálně je dáno p?edpisem:

$\operatorname {ker} {\boldsymbol {A}}=\{{\boldsymbol {x}}\in T^{n}:{\boldsymbol {Ax}}={\boldsymbol {0}}\}$

Obecněji, je-li dáno lineární zobrazení $f:V\to W$ mezi dvěma vektorovymi prostory $V$ a $W$, potom jádro zobrazení $f$ je vektorovy podprostor tvo?eny v?emi vektory ${\boldsymbol {x}}$ z $V$ takovymi, ?e $f({\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {0}}_{W}$, kde ${\boldsymbol {0}}_{W}$ ozna?uje nulovy vektor prostoru $W$. Formálně:

$\ker f=\left\{{\boldsymbol {x}}\in V:f({\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {0}}_{W}\right\}=f^{-1}({\boldsymbol {0}}_{W})$.

Jádro matice ${\boldsymbol {A}}$ se shoduje s jádrem lineárního zobrazení $f:T^{n}\to T^{m}$ daného p?edpisem $f({\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {Ax}}$.

Ukázka

Rovnici $x_{1}-x_{2}=0$ v oboru reálnych ?ísel lze zapsat jako homogenní soustavu ${\boldsymbol {Ax}}={\boldsymbol {0}}$ o jedné lineární rovnici a dvou reálnych neznámych s maticí soustavy ${\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}1&-1\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{1\times 2}$.

Jádrem této matice ${\boldsymbol {A}}$ je

$\operatorname {ker} {\boldsymbol {A}}=\{{\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{2}:{\boldsymbol {Ax}}={\boldsymbol {0}}\}=\{{\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{2}:x_{1}-x_{2}=0\}=\{(p,p)^{\mathrm {T} }:p\in \mathbb {R} \}$,

neboli mno?ina bod? v $\mathbb {R} ^{2}$ s oběma sou?adnicemi shodnymi. Geometricky tvo?í tyto body osu prvního a t?etího kvadrantu.

K uvedené matici lze p?i?adit zobrazení $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{1}$ p?edpisem $f({\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {Ax}}=x_{1}-x_{2}$. Jádrem zobrazení $f$ je mno?ina vzor? nulového vektoru z cílového prostoru $\mathbb {R} ^{1}$ (zde ?ísla $0$, proto?e uvedená soustava má jen jednu rovnici). Tvo?í ji stejná mno?ina bod? (p?ímka) jako jádro matice ${\boldsymbol {A}}$:

$\operatorname {ker} f=\{{\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{2}:f({\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {0}}_{\mathbb {R} ^{1}}\}=\{{\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{2}:x_{1}-x_{2}=0\}=\operatorname {ker} {\boldsymbol {A}}$

Vlastnosti

• Lineární zobrazení podle definice zachovává sou?ty a skalární násobky, a proto je jádro je uzav?ené na sou?ty a skalární násobky. Jádro zobrazení $f:V\to W$ proto tvo?í vektorovy podprostor prostoru $V$:

${\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\in \ker f\Rightarrow f({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}})=f({\boldsymbol {u}})+f({\boldsymbol {v}})={\boldsymbol {0}}+{\boldsymbol {0}}={\boldsymbol {0}}\Rightarrow {\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}}\in \ker f$

${\boldsymbol {u}}\in \ker f,c\in T\Rightarrow f(c{\boldsymbol {u}})=cf({\boldsymbol {u}})=c{\boldsymbol {0}}={\boldsymbol {0}}\Rightarrow c{\boldsymbol {u}}\in \ker f$

• Speciálně, nulovy vektor prostoru $V$ v?dy pat?í do jádra.

• Pokud se obrazy dvou vektor? v lineárním zobrazení $f$ shodují, pat?í jejich rozdíl do jádra $f$:

$f({\boldsymbol {w}})=f({\boldsymbol {u}})\Rightarrow f({\boldsymbol {w}}-{\boldsymbol {u}})=f({\boldsymbol {w}})-f({\boldsymbol {u}})={\boldsymbol {0}}-{\boldsymbol {0}}={\boldsymbol {0}}\Rightarrow {\boldsymbol {w}}-{\boldsymbol {u}}\in \ker f$

Popis ?e?ení soustav

• Toté? v termínech ?e?ení soustav: Jsou-li ${\boldsymbol {u}}$ a ${\boldsymbol {w}}$ dvě ?e?ení soustavy lineárních rovnic ${\boldsymbol {Ax}}={\boldsymbol {b}}$, pak ${\boldsymbol {w}}-{\boldsymbol {u}}$ je ?e?ením soustavy ${\boldsymbol {Ax}}={\boldsymbol {0}}$.

• Je-li $u$ ?e?ením soustavy ${\boldsymbol {Ax}}={\boldsymbol {b}}$ a $v$ je ?e?ení související homogenní soustavy ${\boldsymbol {Ax}}={\boldsymbol {0}}$, pak ${\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}}$ je také ?e?ením soustavy ${\boldsymbol {Ax}}={\boldsymbol {b}}$.

• V d?sledku lze v?echna ?e?ení nehomogenní soustavy popsat pomocí jednoho partikulárního ?e?ení a jádra:

Věta: Je-li $u$ jedno pevně zvolené partikulární ?e?ení soustavy lineárních rovnic ${\boldsymbol {Ax}}={\boldsymbol {b}}$ nad tělesem $T$, pak mno?ina v?ech ?e?ení této soustavy je afinní podprostor $\{{\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}}:{\boldsymbol {v}}\in \operatorname {ker} {\boldsymbol {A}}\}={\boldsymbol {u}}+\operatorname {ker} {\boldsymbol {A}}$.

D?kaz: Je-li $w$ libovolné ?e?ení soustavy ${\boldsymbol {Ax}}={\boldsymbol {b}}$, pak $({\boldsymbol {w}}-{\boldsymbol {u}})\in \operatorname {ker} {\boldsymbol {A}}$, a proto ${\boldsymbol {w}}={\boldsymbol {u}}+({\boldsymbol {w}}-{\boldsymbol {u}})\in \{{\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}}:{\boldsymbol {v}}\in \operatorname {ker} {\boldsymbol {A}}\}$. Naopak pro libovolné ${\boldsymbol {v}}\in \operatorname {ker} {\boldsymbol {A}}$ je ${\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}}$ ?e?ením soustavy ${\boldsymbol {Ax}}={\boldsymbol {b}}$.

Ortogonalita

V prostoru $\mathbb {R} ^{n}$ odpovídá maticovy sou?in ${\boldsymbol {v}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {u}}=\sum \limits _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}$ standardnímu skalárnímu sou?inu.

• Ka?dy vektor jádra matice ${\boldsymbol {A}}$ je proto kolmy na ka?dy její ?ádek a v d?sledku i na ka?dy vektor z ?ádkového prostoru.

• Jádro matice je ortogonálním doplňkem ?ádkového prostoru a naopak.

• Obecněji, je-li $V$ unitární prostor a $W$ je jeho podprostor, potom jádro kolmé projekce $V\to W$ je ortogonální doplněk podprostoru $W$ ve $V$.

Vypo?et

?e?ení homogenní soustavy lineárních rovnic

Podrobněj?í informace naleznete v ?lánku Gaussova elimina?ní metoda.

Elementární úpravy nemění mno?inu ?e?ení soustavy, ?ili ani jádro matice. Proto je mo?né danou matici p?evést do odstupňovaného tvaru a poté zpětnou substitucí popsat mno?inu ?e?ení neboli jádro.

Ukázka

Jádro reálné matice

${\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{pmatrix}}$

obsahuje v?echny vektory ${\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{3}$, pro ně? platí ${\boldsymbol {Ax}}={\boldsymbol {0}}$, neboli:

${\begin{pmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$

Uvedená rovnice s maticovym sou?inem odpovídá homogenní soustavě lineárních rovnic v neznámych $x_{1}$, $x_{2}$ a $x_{3}$:

${\begin{aligned}2x_{1}+3x_{2}+5x_{3}&=0\\-4x_{1}+2x_{2}+3x_{3}&=0\end{aligned}}$

Stejnou soustavu lze také zapsat roz?í?enou maticí soustavy a tu pomocí Gaussovy–Jordanovy eliminace elementárnímu úpravami p?evést na redukovany odstupňovany tvar:

$\left({\begin{array}{ccc|c}2&3&5&0\\-4&2&3&0\end{array}}\right)\sim \sim \left({\begin{array}{ccc|c}1&0&1/16&0\\0&1&13/8&0\end{array}}\right)$

Elementární úpravy zachovávají mno?inu ?e?ení soustavy, ?ili i jádro matice ${\boldsymbol {A}}$. P?epsáním vysledné matice do rovnic se získá:

${\begin{aligned}x_{1}&=-{\tfrac {1}{16}}x_{3}\\x_{2}&=-{\tfrac {13}{8}}x_{3}\end{aligned}}$

Prvky jádra lze dále vyjád?it v parametrické vektorové formě takto:

${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}=p{\begin{pmatrix}-1/16\\-13/8\\1\end{pmatrix}}\quad ({\text{kde }}p\in \mathbb {R} )$

Proto?e $p$ je volná proměnná která m??e nabyvat libovolnou hodnotu v oboru reálnych ?ísel, lze ?e?ení vyjád?it stejně dob?e jako:

${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}=q{\begin{pmatrix}1\\26\\-16\end{pmatrix}}$

p?i?em? parametr $q\in \mathbb {R}$ byl získán substitucí $q=-{\tfrac {p}{16}}$.

Jádro ${\boldsymbol {A}}$ je p?esně ?e?ením těchto rovnic (v tomto p?ípadě p?ímka v $\mathbb {R} ^{3}$ procházející po?átkem a bodem $(1,26,-16)^{\mathrm {T} }$. Uvedeny bod je jednou z mo?nych bází jádra $\ker {\boldsymbol {A}}$. Nulita matice ${\boldsymbol {A}}$ je tudí? rovna 1.

P?ímy vypo?et Gaussovou eliminací

Jádro matice ${\boldsymbol {A}}\in T^{m\times n}$ lze ur?it i tak, ?e se z její transpozice ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }$ vytvo?í bloková matice $({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }|\mathbf {I} _{n})$ p?ipsáním jednotkové matice a tato matice se Gaussovou–Jordanovou eliminací p?evede na redukovany odstupňovany tvar $({\boldsymbol {B}}|{\boldsymbol {C}})$.

Bázi jádra $\ker {\boldsymbol {A}}$ pak tvo?í ty ?ádky matice ${\boldsymbol {C}}$, jim? v matici ${\boldsymbol {B}}$ p?edcházejí samé nuly.

Korektnost uvedeného postupu vyplyvá z toho, ?e matice ${\boldsymbol {C}}$ reprezentuje úpravy pou?ité během eliminace, a proto platí ${\boldsymbol {CA}}^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {B}}$. ka?dy z těchto $n-\operatorname {rank} {\boldsymbol {A}}$ vybranych ?ádk? matice ${\boldsymbol {C}}$ má nulovy sou?in se sloupci ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }$, ?ili i s ?ádky ${\boldsymbol {A}}$, a proto pat?í do hledaného jádra $\ker {\boldsymbol {A}}$. Proto?e ${\boldsymbol {C}}$ je regulární, jsou tyto vektory lineárně nezávislé. Podle věty o dimenzích jádra a obrazu odpovídá jejich po?et dimenzi jádra, a proto tvo?í jeho bázi.

Ukázka

Pro zadání z p?edchozí ukázky odpovídá p?evod blokové matice $({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }|\mathbf {I} _{n})$ na redukovany odstupňovany tvar $({\boldsymbol {B}}|{\boldsymbol {C}})$ vypo?tu:

$({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }|\mathbf {I} _{n})=\left({\begin{array}{cc|ccc}2&-4&1&0&0\\3&2&0&1&0\\5&3&0&0&1\\\end{array}}\right)\sim \sim \left({\begin{array}{cc|ccc}1&0&0&-3&2\\0&1&0&5&-3\\0&0&1&26&-16\end{array}}\right)=({\boldsymbol {B}}|{\boldsymbol {C}})$

Pouze poslednímu ?ádku matice ${\boldsymbol {C}}$ p?edcházejí v ${\boldsymbol {B}}$ samé nuly. Tento vektor ${\boldsymbol {x}}=(1,26,-16)^{\mathrm {T} }$ tvo?í bázi jádra $\ker {\boldsymbol {A}}$, co? lze dolo?it sou?iny:

${\begin{pmatrix}1&26&-16\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\3\\5\end{pmatrix}}=0$

${\begin{pmatrix}1&26&-16\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-4\\2\\3\end{pmatrix}}=0$

Uvedené sou?iny té? ilustrují skute?nost, ?e u reálnych matic jsou v?echny vektory jádra kolmé na v?echny vektory z ?ádkového prostoru dané matice, nebo? tyto maticové sou?iny odpovídají standardnímu skalárnímu sou?inu na $\mathbb {R} ^{n}$. Konkrétně, jádro $\ker {\boldsymbol {A}}$ odpovídá p?ímce $q(1,26,-16)^{\mathrm {T} }$ a ?ádkovy prostor je rovina procházející po?átkem, která je kolmá na tuto p?ímku.

Sou?et hodnosti matice ${\boldsymbol {A}}$ s její nulitou, neboli rovnost $2+1=3$, dává po?et sloupc? matice ${\boldsymbol {A}}$, co? zároveň ilustruje větu o dimenzích jádra a obrazu.

Numerické zále?itosti

Zp?sob a stabilita vypo?tu jádra na po?íta?i závisí na druhu koeficient?.

P?esné koeficienty

Pokud jsou koeficienty matice p?esně danymi ?ísly, lze odstupňovany tvar matice vypo?ítat pomocí Bareissova algoritmu efektivněji ne? pomocí Gaussovy eliminace. Je?tě efektivněj?í je pou?ít modulární aritmetiku a ?ínskou větu o zbytcích, která vypo?et redukuje na několik podobnych úlohu nad kone?nymi tělesy, ?ím? se u?et?í re?ie vyvolaná nelinearitou ?asové slo?itosti celo?íselného násobení.

Pro koeficienty v kone?ném tělese funguje Gaussova eliminace dob?e, ale pro velké matice, které se vyskytují v kryptografii a p?i vypo?tu Gr?bnerovy báze, jsou známy algoritmy, které mají sice p?ibli?ně stejnou vypo?etní slo?itost, ale efektivněj?í implementaci.

Vypo?et s plovoucí desetinnou ?árkou

U matic, jejich? prvky jsou ?ísla s plovoucí desetinnou ?árkou, lze kv?li zaokrouhlovacím chybám témě? v?dy p?edpokládat plnou ?ádkovou hodnosti, a to i kdy? se jedná o aproximaci matice mnohem men?í hodnosti. I pro matici s plnou hodností lze vypo?ítat hodnověrné jádro, jen je-li dob?e podmíněná.

Dokonce i u dob?e podmíněné matice plného po?adí se Gaussova eliminace nemusí chovat správně: zavádí zaokrouhlovací chyby, které mohou mít p?íli? velky vliv na správny vysledek. Proto?e vypo?et jádra matice je speciálním p?íkladem ?e?ení soustav, lze jádro vypo?ítat pomocí libovolného z r?znych algoritm? ur?enych k ?e?ení homogenních soustav lineárních rovnic.

Odkazy

Reference

V tomto ?lánku byl pou?it p?eklad textu z ?lánku Kernel (linear algebra) na anglické Wikipedii.

Literatura

• BE?Vá?, Jind?ich. Lineární algebra. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
• HLADíK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39. 
• OL?áK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2025-08-14]. Dostupné online. 
• MOTL, Lubo?; ZAHRADNíK, Milo?. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2025-08-14]. Dostupné online. 

Související ?lánky

• Lineární zobrazení
• Ortogonalita

Portály: Matematika