去美加自驾 这一次不走寻常路（图）

百度 Motorola会定位为全球品牌，会走全球化、高科技、创新的品牌形象，受众面向欧美、拉美为代表的全球市场。

úst?edním konceptem lineární algebry je pojem lineární nezávislosti pota?mo lineární závislosti vektor? z daného vektorového prostoru. Pomocí tohoto pojmu se definují dal?í velmi d?le?ité objekty lineární algebry, jako je nap?íklad báze vektorového prostoru. Máme-li soubor několika vektor?, pak lineární závislost je matematicky zachycená intuitivní p?edstava o tom, ?e lze jeden vektor vyjád?it pomocí ostatních, pokud jsou si tyto vektory dostate?ně podobné. Pokud jsou tyto vektory p?íli? rozdílné, pak nedoká?eme s?ítáním ?i prodlu?ováním vyjád?it jeden vektor pomocí zbylych. Takové vektory jsou lineárně nezávislé.

Motivace

Obr. 1: P?íklad dvou vektor? v rovině, kdy je druhy vektor násobkem vektoru prvního. Jde tedy o lineárně závislé vektory.

Obr. 2: P?íklad dvou vektor? v rovině, kdy do?lo v??i prvnímu obrázku k jisté změně prvního vektoru. ?ádny z těchto dvou vektor? ji? nelze vyjád?it jako násobek toho druhého. Jedná se tedy o lineárně nezávislé vektory.

Uva?ujme rovinu a v ní mějme ?ipky ve vyznamu vektor?. Matematicky daná situace odpovídá reálnému vektorovému prostoru $\mathbb {R} ^{2}$, pro vztah tohoto vektorového prostoru a prostoru ?ipek v rovině viz oddíl Geometrická interpretace v ?lánku lineární kombinace. Vezměme si konkrétní p?íklad se ?ipkami $\scriptstyle {\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2}$ vyzna?enymi na prvním obrázku. Jejich vektorovy zápis je

${\vec {x}}_{1}={\begin{pmatrix}-1\\-0,5\end{pmatrix}},\quad {\vec {x}}_{2}={\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}.$

Vidíme, ?e obě ?ipky le?í na jedné p?ímce. Navíc vidíme, a je to vidět i z ?íselného zápisu vektor? vy?e, ?e kdy? vektor $\scriptstyle {\vec {x}}_{1}$ obrátíme, bude smě?ovat stejnym směrem jako vektor $\scriptstyle {\vec {x}}_{2}$, a kdy? ho je?tě prodlou?íme na dvojnásobnou délku, tak se bude p?esně rovnat tomuto druhému vektoru. Neboli platí

$-2{\vec {x}}_{1}={\vec {x}}_{2}.$

Pokud si v rovnosti vy?e p?evedeme oba vektory na jednu stranu, dostáváme vyraz

$2{\vec {x}}_{1}+{\vec {x}}_{2}={\vec {0}},$

ktery je speciálním p?ípadem tzv. lineární kombinace vektor?. Obecně lze lineární kombinaci dvou vektor? vyjád?it ve tvaru $\alpha _{1}{\vec {x}}_{1}+\alpha _{2}{\vec {x}}_{2}$. V na?em p?ípadě lze tedy vy?e uvedenou rovnost p?epsat jako

$\alpha _{1}{\vec {x}}_{1}+\alpha _{2}{\vec {x}}_{2}={\vec {0}},\quad {\text{kde}}\quad \alpha _{1}=2,\quad \alpha _{2}=1.$

Koukněme se nyní na druhy obrázek, kde jsme první vektor pozměnili tak, ?e jsme mu p?epsali jeho druhou slo?ku, máme nyní tedy

${\vec {x}}_{1}={\begin{pmatrix}-1\\0,5\end{pmatrix}},\quad {\vec {x}}_{2}={\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}.$

Z obrázku te? ale vidíme, ?e ji? nelze vektor ${\vec {x}}_{2}$ vyjád?it jako násobek vektoru ${\vec {x}}_{1}$. A? tedy vezmeme jakékoli reálné ?íslo $\alpha \in \mathbb {R}$, tak se nám nepoda?í splnit rovnost $\alpha {\vec {x}}_{1}={\vec {x}}_{2}$. Zkusme nyní prodlu?ovat ?i zkracovat, tj. ?kálovat, oba vektory, ne jen vektor ${\vec {x}}_{1}$, a ptejme se, zda by se tyto p?e?kálované vektory mohly rovnat. Uva?ujme tedy vyraz

$\alpha {\vec {x}}_{1}=\beta {\vec {x}}_{2},$

kde $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ jsou ?ísla, která bychom chtěli najít, aby platila rovnost. Kdy? by bylo ?íslo $\scriptstyle \beta$ nenulové, mohli bychom jím vydělit tuto rovnost a dostat vyraz $\gamma {\vec {x}}_{1}={\vec {x}}_{2}$, kde $\gamma =\alpha /\beta$. O tomto vyrazu jsme ale u? viděli, ?e nem??e nastat. Vyjad?oval by toti?, ?e vektor ${\vec {x}}_{2}$ je násobkem vektoru ${\vec {x}}_{1}$. Co ale, kdy? je ?íslo $\beta$ rovno nule? V takovém p?ípadě obdr?íme rovnost $\alpha {\vec {x}}_{1}={\vec {0}}$, kterou ale m??eme v?dy splnit tak, ?e polo?íme $\alpha =0$. Pro nenulovy vektor ${\vec {x}}_{1}$ je to navíc jediná volba, jak danou rovnost splnit. Kdy? si nyní p?ezna?íme na?e koeficienty jako $\alpha _{1}=\alpha$ a $\alpha _{2}=-\beta$, tak m??eme podobně jako pro první obrázek psát

$\alpha _{1}{\vec {x}}_{1}+\alpha _{2}{\vec {x}}_{2}={\vec {0}},\quad {\text{kde nyní}}\quad \alpha _{1}=0,\quad \alpha _{2}=0.$

Vidíme tedy, ?e kdy? máme dva nenulové vektory mí?ící r?znym směrem, tak jejich lineární kombinace, která má byt rovná nulovému vektoru, u? musí mít nutně oba koeficienty nulové. Lineární kombinaci, která má v?echny koeficienty nulové, se ?íká triviální lineární kombinace. V opa?ném p?ípadě se lineární kombinace nazyvá netriviální.

Shrňme si na?e dosavadní sledování. Kdy? byl vektor ${\vec {x}}_{2}$ násobkem vektoru ${\vec {x}}_{1}$ (Obr. 1), tak lineární kombinace $\alpha _{1}{\vec {x}}_{1}+\alpha _{2}{\vec {x}}_{2}$ měla nenulové koeficienty $\alpha _{1}$ a $\alpha _{2}$. Kdy? ale jeden vektor ne?el vyjád?it jako násobek toho druhého (Obr. 2), tak jsme obdr?eli lineární kombinaci, její? koeficienty byly nutně nulové.

První p?ípad by ?lo popsat tak, ?e oba vektory byly závislé v tom smyslu, ?e z jednoho jsme byli schopni vhodnou úpravou dostat vektor druhy. Ve druhém p?ípadě ale u? takovou úpravu provést ne?lo a vektory byly v tomto smyslu nezávislé. Tato úvaha nás vede na obecnou definici lineární nezávislosti pota?mo závislosti, nyní ji? pro libovolny (nenulovy kone?ny) po?et vektor? obecnych vektorovych prostor?. Místo lineárních kombinací pouze dvou vektor? u? tak musíme uva?ovat lineární kombinace obecného tvaru

$\alpha _{1}{\vec {x}}_{1}+\alpha _{2}{\vec {x}}_{2}+\ldots +\alpha _{k}{\vec {x}}_{k}={\vec {0}},$

kde $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{k}$ jsou prvky tělesa, nad kterym je vektorovy prostor definován.

Definice

Bu? $\scriptstyle V$ vektorovy prostor nad tělesem $\scriptstyle T$ a mějme dále soubor vektor? $\scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{k}$ pro jisté p?irozené ?íslo $\scriptstyle k\geq 1$. Uva?ujme pak v?echny mo?né lineární kombinace tohoto souboru vektor?, které jsou rovny nulovému vektoru. Pak ?íkáme, ?e soubor $\scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{k}$ je lineárně nezávisly, právě kdy? ze v?ech lineárních kombinací těchto vektor? je rovna nulovému vektoru jen triviální lineární kombinace. V opa?ném p?ípadě nazyváme soubor vy?e lineárně závisly. Pro lineární nezávislost se ob?as pou?ívá zkratka LN a pro lineární závislost zkratka LZ.^[zdroj?]

Vy?e uvedenou definici lze p?eformulovat i takto: Vektory ${\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{k}$ se nazyvají lineárně závislé, pokud existuje netriviální lineární kombinace těchto vektor?, její? hodnota je nulovy vektor. Lze tedy nalézt takové koeficienty $\scriptstyle \alpha _{i}$ pro ně? platí, ?e

$\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}={\vec {0}}$  a alespoň jeden z koeficient? $\alpha _{i}\neq 0$.

Pokud taková netriviální lineární kombinace neexistuje, pak jsou vektory ozna?ovány jako lineárně nezávislé a jejich lineární kombinace je nulovy vektor jedině v triviálním p?ípadě, kdy jsou v?echna $\alpha _{i}=0$.

Lineární (ne)závislost lze definovat pro libovolné podmno?iny vektorového prostoru, tedy i pro ty s nekone?nym po?tem prvk?. Pak ?íkáme, ?e podmno?ina vektorového prostoru je lineárně nezávislá mno?ina, právě kdy? ka?dy kone?ny soubor vektor? z ní vybrany je lineárně nezávisly. Pokud existuje alespoň jeden kone?ny soubor vektor?, ktery je lineárně závisly, je daná mno?ina lineárně závislá.

Abychom si oz?ejmili vy?e podanou formální definici lineární nezávislosti souboru vektor?, mějme vektory ${\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{k}$ a uva?ujme jejich lineární kombinaci

$\alpha _{1}{\vec {x}}_{1}+\alpha _{2}{\vec {x}}_{2}+\ldots +\alpha _{k}{\vec {x}}_{k}=\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i},$

pro obecné koeficienty $\alpha _{i}\in T$, $i\in \{1,\ldots ,k\}$. Polo?me nyní tuto lineární kombinaci rovnou nulovému vektoru a ptejme se, jaké hodnoty musí mít koeficienty, aby skute?ně platila rovnost. To jest

$\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}={\vec {0}},\quad \alpha _{i}=\ ?,\quad i\in \{1,\ldots ,k\},$

kde máme pevně ur?eny vektory ${\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{k}$ a hledáme k nim p?íslu?né koeficienty $\alpha _{i}$. Pokud po vypo?tu vyrazu na levé straně zjistíme, ?e jediné koeficienty, které danou rovnost splňují, musí byt v?echny rovny nule, tak ?íkáme, ?e dané vektory $\scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{k}$ jsou lineárně nezávislé. Pokud alespoň jeden koeficient je nenulovy a rovnost vy?e je splněna, pak tyto vektory nazveme lineárně závislymi.

Proto?e platí, ?e v?echny koeficienty jsou nulové, právě kdy? $\sum _{i=1}^{k}|\alpha _{i}|=0$, a alespoň jeden koeficient je nenulovy, právě kdy? $\sum _{i=1}^{k}|\alpha _{i}|>0$, m??eme definici lineární nezávislosti p?eformulovat následovně:

Vektory ${\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{k}$ jsou lineárně nezávislé, právě kdy? platí

${\Big (}\forall (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k})\in T^{k}{\Big )}\left(\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}={\vec {0}}\quad \Rightarrow \quad \sum _{i=1}^{k}|\alpha _{i}|=0\right).$

Vektory ${\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{k}$ jsou lineárně závislé, právě kdy? platí

${\Big (}\exists (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k})\in T^{k}{\Big )}\left(\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}={\vec {0}}\quad \wedge \quad \sum _{i=1}^{k}|\alpha _{i}|>0\right).$

Vlastnosti

V následujících tvrzeních v?dy uva?ujeme vektorovy prostor $\scriptstyle V$ nad tělesem $\scriptstyle T$.

Alternativní definice

Lineární (ne)závislost se definuje i tak, ?e soubor vektor? je lineárně závisly, právě kdy? existuje v tomto souboru vektor, ktery lze vyjád?it jako lineární kombinaci vektor? zbylych. Jinak ?e?eno, soubor vektor? je lineárně závisly, právě kdy? existuje vektor le?ící v lineárním obalu vektor? zbylych. Proto?e jsme vy?e zvolili jinou definici, tak si toto tvrzení nyní doká?eme.

• Bu? ${\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}$ soubor n vektor?, kde $n\geq 2$. Pak ${\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}$ je lineárně závisly, právě kdy? existuje vektor ${\vec {x}}_{i_{0}}$ pro jisté $i_{0}\in \{1,\ldots ,n\}$ tak, ?e

${\vec {x}}_{i_{0}}\in \{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{i_{0}-1},{\vec {x}}_{i_{0}+1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}\}_{\text{lin}},$

kde $\{\ldots \}_{\text{lin}}$ zna?í lineární obal.

D?kaz: Doka?me nejd?íve implikaci zleva doprava, tj. mějme lineárně závisly soubor. Existuje tedy netriviální lineární kombinace tohoto souboru dávající nulovy vektor, neboli $\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}=0,$ kde je alespoň jeden koeficient nenulovy. Ozna?me si ho $\alpha _{i_{0}}$. Pak m??eme psát

$\alpha _{i_{0}}{\vec {x}}_{i_{0}}+\sum _{i=1,i\neq i_{0}}^{n}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}=0.$

Nyní m??eme sumu vy?e p?evést na druhou stranu rovnosti. Proto?e je $\scriptstyle \alpha _{i_{0}}$ nenulovy, m??eme jím dělit a dostáváme tak vyjád?ení pro vektor $\scriptstyle {\vec {x}}_{i_{0}}$ pomocí zbylych vektor?

${\vec {x}}_{i_{0}}={\frac {1}{\alpha _{i_{0}}}}\sum _{i=1,i\neq i_{0}}^{n}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}.$

Pro d?kaz opa?né implikace p?edpokládejme, ?e lze jisty vektor $\scriptstyle {\vec {x}}_{i_{0}}$ vyjád?it jako lineární kombinaci zbylych vektor? ve tvaru

${\vec {x}}_{i_{0}}=\sum _{i=1,i\neq i_{0}}^{n}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}.$

Kdy? si vektor ${\vec {x}}_{i_{0}}$ ale p?evedu na pravou stranu rovnosti, tak rázem dostávám netriviální lineární kombinaci p?vodního souboru vektor?, která dává nulovy vektor (konkrétně $\alpha _{i_{0}}=-1$). Soubor je tak lineárně závisly.

P?ímym d?sledkem právě dokázané věty je následující tvrzení:

• Bu? ${\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}$ lineárně závisly soubor n vektor?, kde $n\geq 2$. Pak existuje $i_{0}\in \{1,\ldots ,n\}$ tak, ?e

$\{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}\}_{\text{lin}}=\{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{i_{0}-1},{\vec {x}}_{i_{0}+1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}\}_{\text{lin}}.$

D?kaz: Z?ejmy z p?edchozího tvrzení a druhého tvrzení v oddíle Ostatní vlastnosti v ?lánku Lineární obal.

Ostatní

• Mno?ina obsahující jediny vektor je lineárně nezávislá, právě kdy? je tento vektor nenulovy, tj.

$(\forall {\vec {x}}\in V)\left(\{{\vec {x}}\}\ {\text{je LN}}\quad \Leftrightarrow \quad {\vec {x}}\neq {\vec {0}}\right).$

D?kaz: Obecná lineární kombinace jednoho vektoru má tvar $\alpha {\vec {x}}$ pro nějaké $\alpha \in T$. Doka?me nejprve sporem implikaci zleva doprava. Máme tedy lineárně nezávislou mno?inu obsahující jediny vektor a p?edpokládejme, ?e je tento vektor nulovy. Pak je ale lineární kombinace $\scriptstyle \alpha {\vec {x}}$ nulová pro libovolnou hodnotu koeficientu $\alpha$ a ne jen v triviálním p?ípadě, kdy $\alpha =0$. Máme tak spor s definicí. Uka?me nyní implikaci zprava doleva. Kdy? je vektor $\scriptstyle {\vec {x}}$ nenulovy, pak lineární kombinace $\alpha {\vec {x}}$ bude rovna nulovému vektoru jen pro $\alpha =0$, co? jsme měli dokázat.

• Pokud je soubor vektor? ${\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}$ ($n\geq 1$) lineárně nezávisly, tak je lineárně nezávislá i ka?dá jeho podmno?ina. Neboli, mějme ${\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}$ soubor n vektor?, nech? $l\in \mathbb {N}$ je nějaké ?íslo splňující $1\leq l\leq n$ a nech? $(k_{1},\ldots ,k_{l})$ je l-tice ?ísel taková, ?e $1\leq k_{1}<k_{2}<\ldots <k_{l}\leq n$. Pak, jsou-li ${\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{k}$ lineárně nezávislé, jsou lineárně nezávislé i vektory ${\vec {x}}_{k_{1}},\ldots ,{\vec {x}}_{k_{l}}$.

D?kaz: Je vhodněj?í dokazovat obměněnou implikaci p?vodního tvrzení, tj. doka?me, ?e kdy? je soubor ${\vec {x}}_{k_{1}},\ldots ,{\vec {x}}_{k_{l}}$ lineárně závisly, tak je lineárně závisly i soubor ${\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{k}$. P?edpokládejme, ?e je ${\vec {x}}_{k_{1}},\ldots ,{\vec {x}}_{k_{l}}$ lineárně závisly, tj. existuje l-tice koeficient? $(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{l})\in T^{l}$ tak, ?e

$\sum _{i=1}^{l}\alpha _{i}{\vec {x}}_{k_{i}}={\vec {0}}\quad \wedge \quad \sum _{i=1}^{l}|\alpha _{i}|>0.$

Potom ale dostáváme i netriviální lineární kombinaci p?vodního souboru

$\sum _{i=1}^{k}\beta _{i}{\vec {x}}_{i}={\vec {0}}$

kdy? polo?íme $\beta _{k_{i}}\equiv \alpha _{i}$ pro $i\in \{1,\ldots ,l\}$ a $\beta _{j}=0$ jinak.

• Nech? ${\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}$ je lineárně závisly soubor n vektor?. Pak bu? ${\vec {x}}_{1}={\vec {0}}$, nebo $n\geq 2$ a p?itom existuje $i_{0}\in \{2,\ldots ,n\}$ takové, ?e

${\vec {x}}_{i_{0}}\in \{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{i_{0}-1}\}_{\text{lin}},$

kde $\{\ldots \}_{\text{lin}}$ zna?í lineární obal.

D?kaz: Z prvního tvrzení této sekce plyne, ?e pro ${\vec {x}}_{1}\neq {\vec {0}}$ musí byt ji? nutně $n\geq 2$, jinak by byl soubor lineárně nezávisly. Máme te? tedy lineární kombinaci $\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}={\vec {0}}$ s alespoň jedním koeficientem nenulovym. Abychom dokon?ili d?kaz věty, tak musíme ukázat, ?e alespoň jeden nenulovy je nějaky z koeficient? $\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$. Pro spor p?edpokládejme, ?e $(\forall i\in \{2,\ldots ,n\})(\alpha _{i}=0)$. Pak ale

${\vec {0}}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}=\alpha _{1}{\vec {x}}_{1}.$

Proto?e ale ${\vec {x}}_{1}\neq {\vec {0}}$, musí byt $\alpha _{1}=0$. Jen?e to by znamenalo, ?e jsou úplně v?echny koeficienty lineární kombinace nulové, co? je spor s tím, ?e jsme p?vodně volili netriviální lineární kombinaci. Máme tak dokázáno, ?e mezi koeficienty $\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$ je alespoň jeden nenulovy. Vezměme tedy ten, ktery má ze v?ech koeficient? největ?í index. Ozna?me si ho $\alpha _{i_{0}}$. Postupem stejnym jako v d?kaze prvního tvrzení sekce Alternativní definice si vyjád?íme vektor ${\vec {x}}_{i_{0}}$ pomocí vektor? ostatních. Ty mají v?echny men?í index ne? $i_{0}$. Dostáváme tak tvrzení věty.

P?íklady

P?íklad 1 — Aritmetické vektory

Nej?astěj?ími p?íklady vektor? jsou n-tice ?ísel, tzv. aritmetické vektory. Uva?ujme pro konkrétnost prostor $\scriptstyle \mathbb {R} ^{3}$ s klasicky definovanymi operacemi s?ítání dvou vektor? a násobení vektoru ?íslem. V tomto prostoru mějme následující t?i vektory

${\vec {x}}_{1}={\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}},\quad {\vec {x}}_{2}={\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}},\quad {\vec {x}}_{3}={\begin{pmatrix}4\\-3\\2\end{pmatrix}}.$

Zkoumejme, zda jsou tyto vektory lineárně nezávislé. Uva?ujme tedy jejich lineární kombinaci dávající nulovy vektor

$\alpha _{1}{\vec {x}}_{1}+\alpha _{2}{\vec {x}}_{2}+\alpha _{3}{\vec {x}}_{3}=\alpha _{1}{\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}}+\alpha _{2}{\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}+\alpha _{3}{\begin{pmatrix}4\\-3\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}.$

Vyu?ijeme-li definice s?ítání vektor? a jejich násobení ?íslem, tak nám vy?e uvedená rovnost p?ejde do tvaru

${\begin{pmatrix}\alpha _{1}-\alpha _{2}+4\alpha _{3}\\2\alpha _{1}+\alpha _{2}-3\alpha _{3}\\\qquad \qquad \quad 2\alpha _{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}.$

T?etí ?ádek rovnosti nám ur?uje $\alpha _{3}=0$. Dosadíme-li tuto hodnotu to zbylych dvou ?ádk?, zbude nám soustava dvou rovnic pro dvě neznámé

${\begin{aligned}\alpha _{1}-\alpha _{2}&=&0,\\2\alpha _{1}+\alpha _{2}&=&0.\end{aligned}}$

Ta je zjevně splněna jen pro $\alpha _{1}=0$ a $\alpha _{2}=0$. V?echny t?i koeficienty jsou tedy nulové a my jsme tím dokázali, ?e vektory ${\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2},{\vec {x}}_{3}$ jsou lineárně nezávislé.

P?íklad 2 — Polynomy

Vektorové prostory mohou byt ale rozmanitěj?í, ne? jen ty s n-ticemi ?ísel. Vektorovym prostorem je nap?íklad i mno?ina v?ech polynom?. Vezměme ?ty?i jednoduché polynomy a zkoumejme u nich lineární nezávislost:

$p_{1}(x)=x^{3},\quad p_{2}(x)=x-1,\quad p_{3}(x)=x^{2}+x,\quad p_{4}(x)=2.$

Jako u aritmetickych vektor? uva?ujme tedy nejprve jejich obecnou lineární kombinaci, kterou polo?íme rovnou nulovému vektoru, co? je v na?em p?ípadě nulovy polynom. To jest

$0=\alpha _{1}p_{1}(x)+\alpha _{2}p_{2}(x)+\alpha _{3}p_{3}(x)+\alpha _{4}p_{4}(x)=\alpha _{1}(x^{3})+\alpha _{2}(x-1)+\alpha _{3}(x^{2}+x)+\alpha _{4}(2).$

Shlukneme-li si ?ísla k jednotlivym mocninám nezávisle proměnné, dostáváme

$\alpha _{1}x^{3}+\alpha _{3}x^{2}+(\alpha _{2}+\alpha _{3})x+(2\alpha _{4}-\alpha _{2})=0.$

Máme nyní rovnost, kde na jedné straně vystupuje jisty polynom t?etího stupně a na straně druhé je pak nulovy polynom, nulová funkce. Tuto rovnost je t?eba chápat tak, ?e musí byt splněna pro v?echny hodnoty, kterych m??e nezávisle proměnná nabyvat, tj. pro v?echna reálná $\scriptstyle x$. Dosa?me pár konkrétních hodnot proměnné $\scriptstyle x$ a sna?me se z toho něco zjistit o koeficientech v rovnosti vy?e. Kdy? polo?íme postupně $x=0,x=1,x=-1,x=2$, tak se rovnost redukuje do tvaru

${\begin{aligned}x=0:\quad &-\alpha _{2}+2\alpha _{4}&=&\ 0,\\x=1:\quad &\alpha _{1}+2\alpha _{3}+2\alpha _{4}&=&\ 0,\\x=-1:\quad &-\alpha _{1}-2\alpha _{2}+2\alpha _{4}&=&\ 0,\\x=2:\quad &8\alpha _{1}+\alpha _{2}+6\alpha _{3}+2\alpha _{4}&=&\ 0.\end{aligned}}$

Z prvních t?í rovnic není tě?ké odvodit vztahy $\alpha _{1}=-\alpha _{2}=-2\alpha _{4}$ a $\alpha _{3}=0$. Kdy? tyto dosadíme do rovnice ?tvrté, tak obdr?íme $\alpha _{4}=0$. Po zpětném dosazení tedy vidíme, ?e jsou v?echny koeficienty nulové a dané polynomy $p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}$ jsou lineárně nezávislé. K tomuto zji?tění jsme nemuseli procházet celou reálnou osu, ale sta?ilo dosadit ?ty?i konkrétní hodnoty nezávisle proměnné.

Mohli jsme ale vidět rovnou, ?e jsou dané koeficienty nulové. Na rovnici

$\alpha _{1}x^{3}+\alpha _{3}x^{2}+(\alpha _{2}+\alpha _{3})x+(2\alpha _{4}-\alpha _{2})=0$

se toti? m??eme dívat ve tvaru

$\alpha _{1}x^{3}+\alpha _{3}x^{2}+(\alpha _{2}+\alpha _{3})x+(2\alpha _{4}-\alpha _{2})=0x^{3}+0x^{2}+0x+0.$

Polynom na levé straně rovnosti je roven nulovému polynomu, ten má ale v?echny koeficienty u svych mocnin nulové. Dostali bychom tak porovnáním odpovídajících koeficient? rovnou rovnice (levy sloupec v následující tabulce ozna?uje mocninu, u které dané koeficienty v p?edchozí rovnici vystupují)

${\begin{aligned}x^{3}:\quad &\alpha _{1}&=&\ 0,\\x^{2}:\quad &\alpha _{3}&=&\ 0,\\x:\quad &\alpha _{2}+\alpha _{3}&=&\ 0,\\1:\quad &2\alpha _{4}-\alpha _{2}&=&\ 0.\end{aligned}}$

Tato soustava rovnic má z?ejmě ?e?ení $\alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=\alpha _{4}=0$.

P?íklad 3 — Komplexní funkce

Vektorovy prostor nap?íklad tvo?í i komplexní funkce reálné proměnné, kde definujeme s?ítání funkcí a jejich násobení bodově. Máme tedy mno?inu

$V=\{f{\big |}f\,{\text{je funkce}},\,f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} \}.$

Vezměme nyní t?i funkce a ptejme se, zda jsou lineárně nezávislé, konkrétně funkce

$f_{1}(x)=\cos(x),\quad f_{2}(x)=e^{ix},\quad f_{3}(x)=e^{-ix}.$

Symbol i zde zna?í imaginární jednotku. V matematické analyze se dokazuje tzv. Euler?v vzorec, jen? zní

$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x).$

Kdy? do vy?e uvedeného vzorce dosadíme místo proměnné $x$ proměnnou $-x$, tak nám p?ejde na tvar

$e^{-ix}=\cos(x)-i\sin(x),$

kde jsme vyu?ili sudosti funkce $\scriptstyle \cos$ a lichosti funkce $\scriptstyle \sin$. Se?teme-li vy?e uvedené vzorce, dostaneme

$e^{ix}+e^{-ix}=2\cos(x)$

neboli

$\cos(x)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.$

Kromě toho, ?e jsme nalezli jiné vyjád?ení pro funkci $\scriptstyle \cos$ jsme tak je?tě navíc ukázali, ?e jsou funkce $\scriptstyle f_{1},f_{2},f_{3}$ lineárně závislé. Funkce $\scriptstyle f_{1}$ jde toti? vyjád?it pomocí zbylych dvou.

P?íklad 4 — Závislost na tělese

Bereme-li vektorovy prostor jen jako mno?inu bez vztahu ke svému tělesu, mohou byt tyté? vektory lineárně závislé i lineárně nezávislé podle toho, nad jakym tělesem je dany vektorovy prostor definován. Pro konkrétnost uva?ujme prostor v?ech uspo?ádanych dvojic komplexních ?ísel, tj. $\scriptstyle \mathbb {C} ^{2}$. V něm vyberme vektory

${\vec {x}}_{1}={\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}},\quad {\vec {x}}_{2}={\begin{pmatrix}i\\-i\end{pmatrix}}.$

Zde symbol i zna?í imaginární jednotku. Tyto dva vektory jsou lineárně závislé, uva?ujeme-li $\scriptstyle \mathbb {C} ^{2}$ jako vektorovy prostor nad tělesem komplexních ?ísel, ale p?itom lineárně nezávislé, uva?ujeme-li $\scriptstyle \mathbb {C} ^{2}$ jako vektorovy prostor nad tělesem reálnych ?ísel. V prvním p?ípadě, kdy? je těleso komplexní, toti? sta?í vynásobit vektor $\scriptstyle {\vec {x}}_{2}$ imaginární jednotkou a máme vektor $\scriptstyle {\vec {x}}_{1}$. Kdy? ale uva?ujeme těleso reálnych ?ísel, pak podobnou operaci provést nem??eme, nebo? imaginární jednotka není reálné ?íslo. Zjevně neexistuje jiné reálné ?íslo, které by po vynásobení p?evedlo jeden vektor v druhy. Tyto dva vektory jsou tedy nad reálnym tělesem lineárně nezávislé. Viz té? P?íklad 4 v ?lánku Lineární obal.

Odkazy

Literatura

• PYTLí?EK, Ji?í. Lineární algebra a geometrie. Praha: ?eská technika - nakladatelství ?VUT, 2008. ISBN 978-80-01-04063-8.  – skripta FJFI ?VUT

Související ?lánky

• Lineární kombinace
• Lineární obal
• Wronskián

Externí odkazy

• Lineární nezávislost v encyklopedii MathWorld (anglicky)

Autoritní data	PSH: 7268

Portály: Matematika