银川经开区打造未来产业新型舰队

百度 （综合人民日报记者张烁、江琳、李昌禹、王锦涛、吴姗、段宗宝报道）

Rovnice je v matematice vztah rovnosti dvou vyraz?, které obsahují jednu nebo více proměnnych. Ko?en rovnice je libovolná hodnota proměnné (p?íp. sada hodnot proměnnych), pro které je rovnost splněna.

Formální definice

Uva?ujme dvě funkce $f(x),g(x)$, které jsou definovány na nějaké mno?ině $D$, pak nalezení v?ech $x\in D$, která splňují rovnost

$f(x)=g(x)$

se nazyvá rovnicí o jedné neznámé $x$. Funkce $f(x)$ se nazyvá levá strana rovnice a $g(x)$ se nazyvá pravá strana rovnice.

Ko?eny rovnice

Související informace naleznete také v ?lánku Ko?en (matematika).

Ka?dé ?íslo $x_{0}\in D$, které vyhovuje vztahu $f(x_{0})=g(x_{0})$, se nazyvá ko?en rovnice. Mno?inu v?ech ko?en? dané rovnice ozna?ujeme jako ?e?ení rovnice. Má-li rovnice alespoň jeden ko?en v $D$, nazyvá se ?e?itelná v $D$, pokud ?ádny ko?en v $D$ nemá, ?íkáme, ?e rovnice je v $D$ ne?e?itelná. Pokud je rovnice $f(x)=g(x)$ splněna pro v?echna $x\in D$, jde o identitu, co? zna?íme

$f(x)\equiv g(x)$

Triviální ?e?ení

?e?ení, které je identicky rovno nule, se ozna?uje jako triviální. Pokud ?e?ení rovnice není identicky rovno nule, hovo?í se o netriviálním ?e?ení.

V mnoha p?ípadech je po?adavek na nalezení pouze netriviálního ?e?ení p?ímo sou?ástí zadání problému.

Nap?. triviálním ?e?ením diferenciální rovnice

$y^{\prime }=y$

je

$y=0$,

co? je funkce identicky rovna nule. Netriviální ?e?ení má tvar

$y=\mathrm {e} ^{x}$,

co? je exponenciální funkce.

Jinym p?íkladem je tzv. Velká Fermatova věta, která hledá netriviální ?e?ení rovnice $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ pro $n>2$. Triviálním ?e?ením by v tomto p?ípadě bylo $a=b=c=0$, co? platí pro libovolné $n$. Podobně je triviálním ?e?ením $a=1,b=0,c=1$. Takováto ?e?ení jsou v?ak obvykle nezajímavá.

Ekvivalentní rovnice

Jsou-li na dané mno?ině definovány dvě rovnice $f_{1}(x)=g_{1}(x),f_{2}(x)=g_{2}(x)$, pak je-li ka?dy ko?en první rovnice sou?asně ko?enem rovnice druhé a naopak, ?íkáme, ?e obě rovnice jsou ekvivalentní (rovnocenné, stejné).

Rovnici lze tzv. ekvivalentními úpravami p?evést na ekvivalentní rovnici. Mezi nej?astěji pou?ívané ekvivalentní úpravy pat?í:

• p?i?tení (nebo ode?tení) stejného ?ísla k oběma stranám rovnice, tzn. $f(x)+a=g(x)+a$ je ekvivalentní rovnicí s rovnicí $f(x)=g(x)$
• vynásobení obou stran rovnice stejnym nenulovym ?íslem, tzn. $af(x)=ag(x)$ je ekvivalentní rovnicí s rovnicí $f(x)=g(x)$

Rovnici $f(x)=g(x)$ je mo?né pomocí ekvivalentních úprav p?evést na (ekvivalentní) tvar

$F(x)=f(x)-g(x)=0$

P?i ?e?ení rovnice lze pou?ít také jiné úpravy, nap?. logaritmování nebo umocnění obou stran rovnice apod. Tyto úpravy v?ak nemusí byt ekvivalentní a p?i jejich pou?ití je v?dy nutno provést zkou?ku.

Zkou?ka

Po nalezení ?e?ení rovnice provádíme zkou?ku, nebo? v mnoha p?ípadech nejsme schopni ově?it, zda pou?ité úpravy byly opravdu ekvivalentní. Zkou?ka spo?ívá v dosazení získanych ko?en? do p?vodní rovnice. Pokud některy ko?en nesplňuje zkou?ku, nebyly pravděpodobně v?echny provedené úpravy ekvivalentní, a nejedná se tedy o ko?en p?vodní rovnice.

Rovnice o více neznámych

Rovnice o $n$ neznámych má tvar

$F(x_{1},x_{2},...,x_{n})=0$

P?i jejím ?e?ení postupujeme obdobně jako p?i ?e?ení rovnice o jedné neznámé $F(x)=0$, p?i?em? ?e?ením rovnice o $n$ neznámych jsou n-tice $(x_{1},x_{2},...,x_{n})$.

Algebraické a nealgebraické rovnice

Rovnice lze rozdělit na algebraické rovnice (té? ozna?ované polynomická rovnice) a nealgebraické rovnice (té? transcendentní rovnice).

Jako algebraickou rovnici $n$-tého stupně o jedné neznámé ozna?ujeme rovnici ve tvaru

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}=0$,

kde levou stranu rovnice tvo?í polynom $n$-tého stupně s $a_{n}\neq 0$, p?i?em? se p?edpokládá, ?e $n\geq 1$. Pokud rovnici nelze vyjád?it ve tvaru algebraické rovnice, pak hovo?íme o rovnici nealgebraické.

Rovnice a? do 4. stupně jsou obecně v?dy ?e?itelné analyticky, v algeb?e se dokazuje, ?e obecny vzorec ?e?ící jakoukoli rovnici 5. a vy??ích stupň? neexistuje a ?e?ení je nutné hledat numericky.

Mezi nejjednodu??í algebraické rovnice pat?í lineární rovnice $(n=1)$, kvadratická rovnice $(n=2)$, kubická rovnice $(n=3)$ a kvartická rovnice $(n=4)$. Také pro některé zvlá?tní p?ípady polynom? dostáváme jednoduché rovnice, jde nap?. o binomické, trinomické nebo reciproké rovnice.

P?i práci s algebraickymi rovnicemi má velky vyznam tzv. základní věta algebry. Podle této věty má ka?dy polynom s komplexními koeficienty stupně $n\geq 1$ alespoň jeden komplexní ko?en. Ka?dá algebraická rovnice má tedy ?e?ení v oboru komplexních ?ísel. ?e?ení algebraickych rovnic usnadňuje znalost některych vlastností polynom?.

Mezi nejjednodu??í p?ípady nealgebraickych rovnic pat?í nap?. exponenciální rovnice, logaritmická rovnice nebo goniometrická rovnice.

Homogenní rovnice

Algebraickou rovnici o několika neznámych ozna?ujeme jako homogenní, pokud mají v?echny její ?leny stejny stupeň. Nap?. $3x^{2}y+3x^{3}+2y^{3}-5xy^{2}=0$ je homogenní rovnice t?etího stupně.

Homogenní rovnici lze vyjád?it ve tvaru $f(x)=0$, kde $f(x)$ je homogenní funkce.

Dal?í druhy rovnic

Rovnice obsahující derivace ozna?ujeme jako diferenciální.

Rovnice obsahující integrály ozna?ujeme jako integrální.

Rovnice obsahující diference proměnnych ozna?ujeme jako diferen?ní.

Související ?lánky

• Algebra
• Nerovnice
• Soustava rovnic

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky ?i videa k tématu rovnice na Wikimedia Commons
• Téma Rovnice ve Wikicitátech
• Slovníkové heslo rovnice ve Wikislovníku
• kalkula?ka na po?ítání rovnic

Autoritní data	NKC: ph125241 PSH: 7216 BNF: cb119470816 (data) GND: 4021246-4 LCCN: sh85044510 NDL: 00563553 NLI: 987007552900305171

Portály: Matematika