百度 他们的权力很大，大到管理几十万人；他们的权力又很小，小到甚至无法处置一个吊儿郎当的员工。

Operátor ${\hat {A}}$ je v matematice zobrazení, které ka?dému prvku $f$ z prostoru $X$ (nap?íklad funkci) p?i?azuje prvek $g$ z jiného prostoru $Y$. Zápis:

${\hat {A}}\colon X\to Y,\ f\mapsto {\hat {A}}f=g$,

kde $f\in X$, $g\in Y$.

Operátor se obvykle zna?í st?í?kou (toto zna?ení je typické zejména pro kvantovou mechaniku), nap?íklad ${\hat {H}}$, ${\hat {p}}$ apod.

Prvek $f\in X$ se nazyvá vzor (nebo originál), zatímco prvek $g\in Y$ se ozna?uje jako obraz. Mno?ina prvk? $f\in X$, pro ně? je operátor ${\hat {A}}$ definován, se nazyvá defini?ní obor operátoru a zna?í se ${\mathcal {D}}({\hat {A}})$. Mno?ina obraz? $g\in Y$ v?ech prvk? z defini?ního oboru operátoru se nazyvá obor hodnot operátoru. Obvykle se zna?í ${\mathcal {R}}({\hat {A}})$.

Koncept operátoru se vyrazně p?ekryvá s pojmem zobrazení, av?ak v matematice se termín „operátor“ zpravidla pou?ívá v kontextu prostor? funkcí (které jsou samy zobrazeními). Pro p?ehlednost a odli?ení této vy??í úrovně zobrazování je vhodné pou?ívat specificky termín „operátor“.

V matematice a informatice se jako operátor rovně? ozna?uje symbol matematické operace, nap?íklad zna?ka $+$ pro sou?et (viz Operátor (programování)).

Funkcionál

Pokud je $Y$ mno?ina reálnych, p?ípadně komplexních ?ísel (tedy obraz $g$ je reálné ?i komplexní ?íslo), pak se operátor ${\hat {A}}$ nazyvá (reálny ?i komplexní) funkcionál. P?íkladem funkcionálu je ur?ity integrál.

Základní druhy operátor?

Toto?né operátory

Pokud pro dva operátory ${\hat {A}},{\hat {B}}$ z $X$ do $Y$ platí ${\hat {A}}f={\hat {B}}f$ pro ka?dé $f\in X$, pak jsou oba operátory toto?né.

Operátor identity

D?le?itym operátorem je operátor identity (jednotkovy operátor) ${\hat {I}}$, pro ktery platí

${\hat {I}}f=f$.

P?sobením operátoru identity ${\hat {I}}$ tedy nedochází k ?ádné změně.

Inverzní operátor

Operátor ${\hat {A}}^{-1}$ je inverzním operátorem k ${\hat {A}}$, pokud platí

${\hat {A}}{\hat {A}}^{-1}={\hat {A}}^{-1}{\hat {A}}={\hat {I}}$,

kde ${\hat {I}}$ p?edstavuje operátor identity. Inverzní operátor k danému operátoru nemusí existovat.

Platí vztah (mají-li obě strany smysl):

${({\hat {A}}{\hat {B}})}^{-1}={\hat {B}}^{-1}{\hat {A}}^{-1}$.

Lineární operátor

Lineární operátor ${\hat {A}}\colon X\to Y$ je operátor mezi vektorovymi prostory $X$ a $Y$, ktery splňuje vztah:

${\hat {A}}\left(\sum _{i}c_{i}f_{i}\right)=\sum _{i}c_{i}({\hat {A}}f_{i}),$

kde $f_{i}$ jsou libovolné prvky prostoru $X$ a $c_{i}$ jsou libovolné skalární koeficienty.

Linearitu operátoru ${\hat {A}}$ lze ově?it pomocí následujících dvou podmínek:

1. ${\hat {A}}(f_{1}+f_{2})={\hat {A}}(f_{1})+{\hat {A}}(f_{2})$ pro libovolné $f_{1},f_{2}\in X$,
2. ${\hat {A}}(cf_{1})=c{\hat {A}}(f_{1})$ pro libovolné $c\in \mathbb {R}$ (nebo $\mathbb {C}$, pokud jde o komplexní prostory) a $f_{1}\in X$.

P?íkladem lineárního operátoru je limita, která p?sobí na funkce nebo posloupnosti. Dále mezi lineární operátory pat?í derivace, která je definována pomocí limity, a neur?ity integrál, jen? je inverzním operátorem k derivaci (a? na konstantu).

Nelineárním operátorem je nap?íklad operátor ${\hat {A}}=\sin$. P?sobením tohoto operátoru na libovolnou funkci $f$ vyjde ${\hat {A}}f=\sin f$.

Antilineární operátor

Operátor nazyváme antilineární, jestli?e platí

${\hat {A}}\sum _{i}c_{i}f_{i}=\sum _{i}c_{i}^{*}{\hat {A}}f_{i}$,

kde $f_{i}$ jsou libovolné funkce a $c_{i}^{*}$ jsou koeficienty komplexně sdru?ené k $c_{i}$.

Spojity operátor

Podrobněj?í informace naleznete v ?lánku Spojité zobrazení.

Operátor ${\hat {A}}\colon X\to Y$ mezi metrickymi prostory $X,Y$ je spojity v bodě $f_{0}\in X$, jestli?e pro ka?dou posloupnost prvk? $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset X$ splňující $f_{n}\to f_{0}$, platí také ${\hat {A}}f_{n}\to {\hat {A}}f_{0}$, tzn. $g_{n}\to g_{0}$ v prostoru $Y$.

Lineární operátor, ktery je spojity v nějakém bodě $f_{1}\in X$, je spojity v ka?dém bodě $f\in X$.

Omezeny operátor

Operátor ${\hat {A}}$ je omezeny (ohrani?eny), pokud existuje $\mu >0$ takové, ?e pro ka?dé $f\in X$ platí

${\|{\hat {A}}f\|}_{Y}\leq \mu {\|f\|}_{X}$,

kde ${\|f\|}_{X}$ je norma prvku $f$ v prostoru $X$ a ${\|{\hat {A}}f\|}_{Y}$ je norma prvku ${\hat {A}}f$ v prostoru $Y$.

Lineární operátor je spojity právě kdy? je omezeny. Sou?in omezenych operátor? p?edstavuje opět omezeny operátor. Podobně platí, ?e sou?et omezenych operátor? je opět omezenym operátorem.

Infimum ?ísel $\mu$ operátoru ${\hat {A}}$ p?edstavuje normu operátoru $\|{\hat {A}}\|$, tzn.

$\|{\hat {A}}\|=\inf \,\mu$.

Normu lze také získat jako supremum mno?iny ?ísel ${\|{\hat {A}}f\|}_{Y}$ pro v?echny jednotkové prvky $f\in X$, tzn.

$\|{\hat {A}}\|=\sup _{{\|f\|}_{X}=1}{\|{\hat {A}}f\|}_{Y}$.

Operátory na Hilberovych prostorech

Operátory na Hilbertovych prostorech jsou klí?ové v kvantové mechanice. Dále budeme vyu?ívat Diracovu notaci pro zápis skalárního sou?inu $\langle \cdot |\cdot \rangle$ na těchto prostorech.

Sdru?eny operátor

Podrobněj?í informace naleznete v ?lánku Sdru?eny operátor.

Ke ka?dému lineárnímu operátoru ${\hat {A}}$ existuje sdru?eny operátor ${\hat {A}}^{+}$, ktery splňuje vztah

$\langle f|{\hat {A}}^{+}g\rangle =\langle {\hat {A}}f|g\rangle .$

Platí vztahy:

$\|{\hat {A}}^{+}\|=\|{\hat {A}}\|$,

${({\hat {A}}^{+})}^{+}={\hat {A}}$,

${({\hat {A}}+{\hat {B}})}^{+}={\hat {A}}^{+}\!\!+{\hat {B}}^{+},$

${({\hat {A}}{\hat {B}})}^{+}={\hat {B}}^{+}{\hat {A}}^{+},$

${(\lambda {\hat {A}})}^{+}=\lambda ^{*}{\hat {A}}^{+},$

navíc pokud existuje inverzní operátor, platí

$({\hat {A}}^{+})^{-1}=({\hat {A}}^{-1})^{+}$.

Symetricky operátor

Podrobněj?í informace naleznete v ?lánku Hermitovsky operátor.

Operátor ${\hat {A}}$ se ozna?uje jako symetricky (někdy také hermitovsky), jestli?e platí

$\langle f|{\hat {A}}g\rangle =\langle {\hat {A}}f|g\rangle$

pro v?echna $f$ a $g$ z defini?ního oboru ${\hat {A}}$.

Operátor ${\hat {A}}$ se ozna?uje jako antihermitovsky, je-li operátor $\mathrm {i} {\hat {A}}$ hermitovsky.

Samosdru?eny operátor

Podrobněj?í informace naleznete v ?lánku Samosdru?eny operátor.

Operátor ? se nazyvá samosdru?eny, jestli?e platí

${\hat {A}}^{+}={\hat {A}}$,

p?i?em? po?adujeme i rovnost defini?ních obor?. Pro omezené operátory jsou pojmy samosdru?eny, hermitovsky a symetricky ekvivalentní.

Samosdru?eny operátor ${\hat {A}}$ je pozitivní, kdy? pro ka?dé $|u\rangle$ platí

$\langle u|{\hat {A}}|u\rangle \geq 0$

Operátor se ozna?uje jako normální, kdy? platí

$[{\hat {A}},{\hat {A}}^{+}]=0$,

kde $[,]$ ozna?uje komutátor.

Unitární operátor

Podrobněj?í informace naleznete v ?lánku Unitární operátor.

Operátor ${\hat {A}}$ je unitární, pokud platí

${\hat {A}}^{+}={\hat {A}}^{-1}$.

Pro libovolny unitární operátor ${\hat {A}}$ platí

$\langle {\hat {A}}u|{\hat {A}}v\rangle =\langle u|v\rangle$.

Jestli?e operátor ${\hat {M}}$ splňuje vztah

$\langle {\hat {M}}u|{\hat {M}}v\rangle =\langle u|v\rangle$,

pak operátor ${\hat {M}}$ ozna?ujeme jako izometricky. Izometricky operátor sice splňuje vztah ${\hat {M}}^{+}{\hat {M}}={\hat {I}}$, av?ak na rozdíl od operátoru unitárního m??e byt ${\hat {M}}{\hat {M}}^{+}\neq {\hat {I}}$.

Projek?ní operátor

Podrobněj?í informace naleznete v ?lánku Projekce (lineární algebra).

Omezeny lineární operátor ${\hat {E}}$ se ozna?uje jako projek?ní, splňuje-li podmínku

${\hat {E}}={\hat {E}}^{2}$.

Pokud navíc ${\hat {E}}={\hat {E}}^{+}$, jde o ortogonální projekci.

Je-li ${\hat {E}}$ projek?ní operátor, pak je projek?ním operátorem také

${\hat {E}}'={\hat {I}}-{\hat {E}}$,

kde ${\hat {I}}$ p?edstavuje operátor identity. Platí p?itom vztahy

${\hat {E}}+{\hat {E}}'={\hat {I}}$,

${\hat {E}}{\hat {E}}'=0$.

Je-li $|\psi _{k}\rangle$ vektor normalizovany k jednotce, pak projek?ní operátor do jednorozměrného podprostoru tvo?eného v?emi vektory lineárně závislymi na $|\psi _{k}\rangle$ lze vyjád?it jako

${\hat {E}}_{k}={|\psi _{k}\rangle }\langle \psi _{k}|$

Jestli?e mno?ina vektor? $\{{|\psi _{k}\rangle }\}$ tvo?í ortonormální bázi podprostoru $H_{1}$, pak projek?ní operátor do $H_{1}\subset H$ vyjád?íme jako

$\sum _{k}{\hat {E}}_{k}=\sum _{k}{|\psi _{k}\rangle }\langle \psi _{k}|$.

Pokud je $H_{1}=H$, pak je projek?ní operátor operátorem identity, tak?e

$\sum _{k}{|\psi _{k}\rangle }\langle \psi _{k}|={\hat {I}}$.

Tento vztah p?edstavuje tzv. relaci úplnosti (uzav?enosti).

Operace s operátory

Sou?tem dvou operátor? ${\hat {A}},{\hat {B}}$ vznikne operátor ${\hat {C}}={\hat {A}}+{\hat {B}}$, pro ktery platí

${\hat {C}}u=({\hat {A}}+{\hat {B}})u={\hat {A}}u+{\hat {B}}u$.

Operátor ${\hat {C}}$ ozna?íme jako sou?in operátor? ${\hat {A}}$ a ${\hat {B}}$, tzn. ${\hat {C}}={\hat {A}}{\hat {B}}$, pokud pro ka?dé $u$ platí

${\hat {C}}u={\hat {A}}({\hat {B}}u)$.

Pomocí p?edchozího vztahu lze definovat mocninu operátoru, nap?íklad ${\hat {A}}^{2}={\hat {A}}{\hat {A}}$.

Násobení operátor? není komutativní, tedy v obecném p?ípadě pro dva operátory ${\hat {A}}{\hat {B}}\neq {\hat {B}}{\hat {A}}$. Abychom vystihli vzájemnou nekomutativnost dvou operátor? ${\hat {A}},{\hat {B}}$, zavádíme tzv. komutátor operátor?

$[{\hat {A}},{\hat {B}}]={[{\hat {A}},{\hat {B}}]}_{-}={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}$.

Dva komutativní operátory ${\hat {A}},{\hat {B}}$ splňují pro libovolné $u$ vztah

$[{\hat {A}},{\hat {B}}]=0$.

Jsou-li hermitovské operátory ${\hat {A}},{\hat {B}}$ komutativní, pak mají spole?né vlastní funkce.

Jestli?e operátory ${\hat {A}},{\hat {B}}$ komutují, tedy $[{\hat {A}},{\hat {B}}]=0$, pak pro libovolné funkce $f$, $g$ platí

$[f({\hat {A}}),g({\hat {B}})]=0$.

Kromě komutátoru se zavádí také antikomutátor operátor?

$\{{\hat {A}},{\hat {B}}\}={[{\hat {A}},{\hat {B}}]}_{+}={\hat {A}}{\hat {B}}+{\hat {B}}{\hat {A}}$.

Z definice komutátoru a antikomutátoru vzniknou následující vztahy:

$[{\hat {A}},{\hat {B}}]=-[{\hat {B}},{\hat {A}}]$,

$[{\hat {A}},{\hat {B}}+{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]+[{\hat {A}},{\hat {C}}]$,

$[{\hat {A}},{\hat {B}}{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]{\hat {C}}+{\hat {B}}[{\hat {A}},{\hat {C}}]=\{{\hat {A}},{\hat {B}}\}{\hat {C}}-{\hat {B}}\{{\hat {A}},{\hat {C}}\}$,

$[{\hat {A}}{\hat {B}},{\hat {C}}]={\hat {A}}[{\hat {B}},{\hat {C}}]+[{\hat {A}},{\hat {C}}]{\hat {B}}={\hat {A}}\{{\hat {B}},{\hat {C}}\}-\{{\hat {A}},{\hat {C}}\}{\hat {B}}$,

$\{{\hat {A}},{\hat {B}}\}=\{{\hat {B}},{\hat {A}}\}$

$\{{\hat {A}},{\hat {B}}+{\hat {C}}\}=\{{\hat {A}},{\hat {B}}\}+\{{\hat {A}},{\hat {C}}\}$,

$\{{\hat {A}},{\hat {B}}{\hat {C}}\}=\{{\hat {A}},{\hat {B}}\}{\hat {C}}-{\hat {B}}[{\hat {A}},{\hat {C}}]={\hat {B}}\{{\hat {C}},{\hat {A}}\}-[{\hat {B}},{\hat {A}}]{\hat {C}}$,

$\{{\hat {A}}{\hat {B}},{\hat {C}}\}={\hat {A}}\{{\hat {B}},{\hat {C}}\}-[{\hat {A}},{\hat {C}}]{\hat {B}}=\{{\hat {C}},{\hat {A}}\}{\hat {B}}-{\hat {A}}[{\hat {C}},{\hat {B}}]$.

Platí také Jacobiho identita

$[{\hat {A}},[{\hat {B}},{\hat {C}}]]+[{\hat {B}},[{\hat {C}},{\hat {A}}]]+[{\hat {C}},[{\hat {A}},{\hat {B}}]]=0$.

Pou?ití

Operátory jsou nepostradatelné jak v diferenciálním po?tu v matematice (nap?íklad operátor nabla), tak p?i pou?ití v kvantové mechanice a p?i zjednodu?ování zápisu identit (rovnic) jinde ve fyzice.

Související ?lánky

• Zobrazení
• Vlastní ?íslo
• Vektorovy prostor
• Kvantová fyzika

Autoritní data	PSH: 7683