实用有效！让你做好全息投影显示的几项参考设计

Podrobněj?í informace naleznete v ?lánku Vlastní vektory a vlastní ?ísla.

百度 他介绍，从国际机器人比赛中，就能看出新加坡对于人才培养的重视。

V lineární algeb?e se spektrem ?tvercové matice rozumí multimno?ina v?ech jejích vlastních ?ísel.

Spektrum matice ${\boldsymbol {A}}$ se obvykle zna?í $\sigma ({\boldsymbol {A}})$, nebo $\mathrm {sp} ({\boldsymbol {A}})$.

Definice

Je-li dána ?tvercová matice ${\boldsymbol {A}}$ ?ádu $n$ nad tělesem $T$, potom vlastním ?íslem ${\boldsymbol {A}}$ se rozumí skalár $\lambda \in T$, pro něj? existuje vektor ${\boldsymbol {u}}\in T^{n}\setminus {\boldsymbol {0}}$ takovy, ?e platí rovnost ${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {u}}=\lambda {\boldsymbol {u}}$. Lze ukázat, ?e vlastní ?ísla tvo?í mno?inu ko?en? charakteristického polynomu matice definovaného jako $p_{\boldsymbol {A}}(x)=\det({\boldsymbol {A}}-x\mathbf {I} )$.

Prvky spektra jsou vlastní ?ísla ${\boldsymbol {A}}$ ?ili ko?eny charakteristického polynomu ${\boldsymbol {A}}$. Násobnost vlastního ?ísla $\lambda$ ve spektru, tzv. algebraická násobnost, odpovídá jeho násobnosti coby ko?ene charakteristického polynomu.

Obecněji, je-li $V$ vektorovy prostor kone?né dimenze nad nějakym tělesem $T$ a $f:V\to V$ je lineární zobrazení, potom spektrum zobrazení $f$, je multimno?inou skalár? $\lambda$ takovych, ?e zobrazení $f-\lambda \mathrm {id}$ není invertibilní.

Ukázka

Reálná matice

${\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}5&4&2&1\\0&1&-1&-1\\-1&-1&3&0\\1&1&-1&2\end{pmatrix}}$

Má charakteristicky polynom

${\begin{aligned}p_{\boldsymbol {A}}(x)&=\det({\boldsymbol {A}}-x\mathbf {I} )\\&={\begin{vmatrix}5-x&4&2&1\\0&1-x&-1&-1\\-1&-1&3-x&0\\1&1&-1&2-x\end{vmatrix}}\\&=x^{4}-11x^{3}+42x^{2}-64x+32\\&=(1-x)(2-x)(4-x)^{2}\end{aligned}}$

Spektrum matice ${\boldsymbol {A}}$ tvo?í multimno?ina ko?en? charakteristického mnoho?lenu v?etně násobností:

$\sigma ({\boldsymbol {A}})=\{1,2,4,4\}$

Reálná matice

${\boldsymbol {B}}={\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&2\end{pmatrix}}$

Má charakteristicky polynom

${\begin{aligned}p_{\boldsymbol {B}}(x)&=\det({\boldsymbol {B}}-x\mathbf {I} )\\&={\begin{vmatrix}-x&1&0\\-1&-x&0\\0&0&2-x\end{vmatrix}}\\&=-x^{3}+2x^{2}-x+2\\&=(2-x)(x^{2}+1)\end{aligned}}$

Spektrum matice ${\boldsymbol {B}}$ tvo?í v oboru reálnych ?ísel je jednoprvková mno?ina:

$\sigma ({\boldsymbol {B}})=\{2\}$

V oboru komplexních ?ísel lze rozlo?it i polynom $x^{2}+1$ na lineární faktory. Proto byla-li by ${\boldsymbol {B}}$ brána jako komplexní matice, měla by spektrum $\sigma ({\boldsymbol {B}})=\{2,\mathrm {i} ,-\mathrm {i} \}$.

Vlastnosti

Determinant matice nad algebraicky uzav?enym tělesem, jako jsou nap?. komplexní ?ísla, je roven sou?inu jejích vlastních ?ísel. Podobně se stopa matice rovná sou?tu jejích vlastních ?ísel. Z tohoto pohledu lze definovat pseudodeterminant singulární matice jako sou?in jejích nenulovych vlastních ?ísel. Tato veli?ina se pou?ívá pro hustotu vícerozměrného normálního rozdělení.

Spektrální rozklad diagonalizovatelné matice je její rozklad do specifické kanonické formy, p?i?em? matice je reprezentována svymi vlastními ?ísly a vlastními vektory.

Odhad na prvky spektra komplexních matic dává Ger?gorinova věta o kruzích.

Spektrální poloměr

V ?adě aplikací, jako nap?. PageRank, je podstatné dominantní vlastní ?íslo, tj. to s největ?í absolutní hodnotou. Spektrálním poloměrem reálné ?i komplexní matice ${\boldsymbol {A}}$ se nazyvá ?íslo

$\rho ({\boldsymbol {A}})=\max\{|\lambda _{1}|,|\lambda _{2}|,\cdots ,|\lambda _{n}|\}$,

kde $\sigma ({\boldsymbol {A}})=\{\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n}\}$ je spektrum matice ${\boldsymbol {A}}$.

V jinych aplikacích je podstatné vlastní ?íslo nejmen?í absolutní hodnoty, ale obecně celé spektrum poskytuje cenné informace o matici.

Odkazy

Reference

V tomto ?lánku byl pou?it p?eklad textu z ?lánku Spectrum of a matrix na anglické Wikipedii.

Literatura

• BE?Vá?, Jind?ich. Lineární algebra. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
• HLADíK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39. 
• OL?áK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2025-08-14]. Dostupné online. 
• MOTL, Lubo?; ZAHRADNíK, Milo?. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2025-08-14]. Dostupné online. 

Související ?lánky

• Stopa matice
• Vlastní ?íslo

Portály: Matematika