北京市顺义区马坡二小举行攀登阅读之星个人表彰活动

?tvercová matice ?ádu 4. Prvky $a_{ii}$ tvo?í hlavní diagonálu ?tvercové matice, zde nap?. $a_{11}=9$, $a_{22}=11$, $a_{33}=4$ a $a_{44}=10$.

百度 如果最终成功的话，该技术将提升我们诊断和治疗癌症、糖尿病、痴呆等疾病的能力。

?tvercová matice se v lineární algeb?e rozumí matice se stejnym po?tem ?ádk? a sloupc?. ?tvercové matice, které mají $n$ ?ádk? i sloupc?, se nazyvají matice ?ádu $n$ (té? stupně $n$).

P?íklad: matice 3. ?ádu

${\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}$.

Speciální druhy ?tvercovych matic

• Matici, která má nenulové prvky pouze na hlavní diagonále, tzn. $a_{ij}=0$ pro $i\neq j$, nazyváme diagonální maticí. Prvky diagonální matice ${\boldsymbol {D}}$ lze vyjád?it pomocí Kroneckerova symbolu $d_{ij}=\lambda _{i}\delta _{ij}\,$, kde $\lambda _{i}=d_{ii}\,$ jsou diagonální prvky matice.
• Pokud pro v?echny diagonální prvky $\lambda _{i}$ diagonální matice platí $\lambda _{i}=1\,$, jedná se o jednotkovou matici $\mathbf {I}$, pro její? prvky platí $e_{ij}=\delta _{ij}$

Název matice	P?íklad pro $n=3$
diagonální	${\begin{pmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\end{pmatrix}}$
dolní trojúhelníková	${\begin{pmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}$
horní trojúhelníková	${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{pmatrix}}$

• Matici, která má v?echny prvky pod hlavní diagonálou nulové, ozna?ujeme jako horní trojúhelníkovou matici. Taková matice má tvar

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{nn}\end{pmatrix}}$

• Podobně ozna?ujeme jako dolní trojúhelníkovou matici takovou matici, která má v?echny prvky nad diagonálou nulové.
• Pokud je transponovaná matice shodná s p?vodní maticí, tzn. ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {A}}$, pak matici ${\boldsymbol {A}}$ ozna?ujeme jako symetrickou. Pro prvky symetrické matice platí:

$a_{ij}=a_{ji}\,$

• Matici ${\boldsymbol {A}}$ ozna?ujeme jako antisymetrickou, platí-li pro v?echny prvky této matice vztah:

$a_{ij}=-a_{ji}\,$

• Matice ${\boldsymbol {B}}$ je inverzní maticí k ?tvercové matici ${\boldsymbol {A}}$, pokud platí

${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {A}}=\mathbf {I}$, kde $\mathbf {I}$ je jednotková matice (stejného typu jako ${\boldsymbol {A}}$). Matice ${\boldsymbol {B}}$ je pak také stejného ?ádu jako ${\boldsymbol {A}}$.

• Matici ${\boldsymbol {A}}$, ke které existuje inverzní matice, ozna?ujeme jako regulární matici. Není-li matice regulární, pak ji ozna?ujeme jako singulární.
• Adjungovaná matice k matici ${\boldsymbol {A}}$ je transponovaná matice algebraickych doplňk? matice ${\boldsymbol {A}}$.

Lineární zobrazení na $\mathbb {R} ^{2}$ dané maticí. Determinant této matice je ?1, proto?e plocha zeleného rovnobě?níku vpravo je 1, ale zobrazení obrací orientaci, proto?e oto?í levoto?ivé po?adí vektor? na pravoto?ivé.

Determinant

Podrobněj?í informace naleznete v ?lánku Determinant.

Determinant ?tvercové matice ${\boldsymbol {A}}$, ozna?ovany $\det {\boldsymbol {A}}$ nebo $|{\boldsymbol {A}}|$, je ?íslo kódující ur?ité vlastnosti matice. Matice je regulární, právě kdy? je její determinant nenulovy. Absolutní hodnota determinantu je rovna plo?e (v $\mathbb {R} ^{2}$) p?ípadně objemu (v $\mathbb {R} ^{3}$ ) obrazu jednotkového ?tverce (resp. krychle), p?i?em? jeho znaménko odpovídá orientaci p?íslu?ného lineárního zobrazení. Determinant je kladny, právě kdy? je orientace zachována.

Determinant matic ?ádu dva je dán vztahem

$\det {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=ad-bc.$

Determinant matic ?ádu t?i má 6 ?len? (Sarrusovo pravidlo). Leibnitz?v vzorec $\det {\boldsymbol {A}}=\sum _{\tau \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\tau )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\,\tau (i)}$ zobecňuje tyto dva vzorce na v?echny dimenze.

Determinant sou?inu ?tvercovych matic je roven sou?inu jejich determinant?:

$\det({\boldsymbol {AB}})=\det {\boldsymbol {A}}\cdot \det {\boldsymbol {B}}$

P?i?tení násobku libovolného ?ádku do jiného ?ádku nebo násobku libovolného sloupce do jiného sloupce nezmění determinant. Záměna dvou ?ádk? nebo dvou sloupc? změní znaménko determinantu na opa?né. Pomocí těchto operací lze libovolnou matici p?evést na dolní (nebo na horní) trojúhelníkovou matici. Determinant těchto matice je pak sou?in prvk? na hlavní diagonále. Uvedeny postup lze pou?ít pro vypo?et determinantu jakékoli matice. Kone?ně, Laplace?v rozvoj vyjad?uje determinant pomocí minor?, co? jsou determinanty podmatic. Toto roz?í?ení lze pou?ít pro rekurentní definici determinantu (za vychozí p?ípad vezmeme determinant matice $1\times 1$, ktery je jejím jedinym prvkem, nebo dokonce determinant matice $0\times 0$, co? je 1), co? lze pova?ovat za ekvivalentní Leibnizově vzorci. Determinanty mohou byt pou?ity k ?e?ení soustav lineárních rovnic pomocí Cramerova pravidla, podle něj? jsou hodnoty neznámych rovny podíl?m determinant?.

Vlastní ?ísla a vlastní vektory

Podrobněj?í informace naleznete v ?lánku Vlastní vektory a vlastní ?ísla.

?íslo $\lambda$ a nenulovy vektor ${\boldsymbol {v}}$ vyhovující rovnici

${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {v}}=\lambda {\boldsymbol {v}}$

jsou nazyvány vlastním ?íslem (hodnotou) a vlastním vektorem ${\boldsymbol {A}}$. ?íslo λ je vlastním ?íslem matice ${\boldsymbol {A}}$ ?ádu $n$, právě kdy? ${\boldsymbol {A}}-\lambda \mathbf {I} _{n}$ je singulární, co? je ekvivalentní podmínce

$\det({\boldsymbol {A}}-\lambda \mathbf {I} _{n})=0.$

Polynom $p_{\boldsymbol {A}}$v neznámé $x$ odpovídající determinantu $\det(x\mathbf {I} _{n}-{\boldsymbol {A}})$ se nazyvá charakteristicky polynom matice ${\boldsymbol {A}}$. Jde o monicky polynom stupně $n$, a proto rovnice $p_{\boldsymbol {A}}(\lambda )=0$ má nejvy?e $n$ r?znych ?e?ení, co? jsou právě v?echna vlastních ?ísla matice ${\boldsymbol {A}}$. Ta mohou byt komplexní, a to i pro některé reálné matice. Podle Cayley-Hamiltonovy věty platí $p_{\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {A}})=\mathbf {0}$. Jinymi slovy, dosadíme-li samotnou matici do svého vlastního charakteristického polynomu, dostaneme za vysledek nulovou matici.

Reálné a komplexní matice

P?ehled některych druh? matic
Nad $\mathbb {C}$	Nad $\mathbb {R}$	vlastnost
hermitovská	symetrická	${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H/T} }={\boldsymbol {A}}$
unitární	ortogonální	${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H/T} }={\boldsymbol {A}}^{-1}$
regulární (invertibilní)		$\det {\boldsymbol {A}}\neq 0$

• Pokud ka?dy prvek $a_{ij}$ komplexní matice ${\boldsymbol {A}}$ nahradíme prvkem k němu komplexně sdru?enym ${\overline {a_{ij}}}$, pak získáme matici ${\overline {\boldsymbol {A}}}$, kterou ozna?ujeme jako komplexně sdru?enou matici. Reálné matice se shodují se svymi komplexně sdru?enymi maticemi ${\overline {\boldsymbol {A}}}={\boldsymbol {A}}$.
• Provedeme-li na matici $\mathbf {A}$ transpozici a komplexní sdru?ení, získáme matici hermitovsky sdru?enou (někdy té? psáno ?hermiteovsky“, podle Charlese Hermita). Hermitovsky sdru?enou matici zna?í r?zní auto?i r?zně, zpravidla některym z následujících zp?sob?

${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }={\overline {\boldsymbol {A}}}^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {A}}^{*}={\boldsymbol {A}}^{+}$

(poslední z mo?nych zápis? se m??e snadno plést s tzv. Mooreovou–Penroseovou pseudoinverzní maticí)

• Pokud je hermitovsky sdru?ená matice rovna p?vodní matici, tzn. ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {A}}$, ?íkáme, ?e matice ${\boldsymbol {A}}$ je hermitovská (té? samosdru?ená nebo samoadjungovaná). Ka?dá hermitovská matice má v?echna vlastní ?ísla reálná (d?kaz indukcí s vyu?itím základní věty algebry a Gram-Schmidtovy ortogonalizace).
• Symetrická reálná matice ${\boldsymbol {A}}$ ?ádu $n$ se nazyvá:
  • pozitivně semidefinitní, pokud pro v?echny vektory ${\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{n}$platí ${\boldsymbol {x}}^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {Ax}}\geq 0$;
  • pozitivně definitní, pokud pro v?echny vektory ${\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{n}$ r?zné od ${\boldsymbol {0}}$ platí ${\boldsymbol {x}}^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {Ax}}>0$;
  • negativně (semi)definitní, pokud v p?edchozích definicích pou?ijeme obrácené nerovnosti, tj. $\leq$ a $<$
  • indefinitní v ostatních p?ípadech, neboli existují ${\boldsymbol {x,y}}\in \mathbb {R} ^{n}$ taková, ?e ${\boldsymbol {x}}^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {Ax}}>0$ a zároveň ${\boldsymbol {y}}^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {Ay}}<0$.

Uvedené vlastnosti jsou definovány i pro komplexní hermitovské matice; jen je t?eba vzít v potaz v?echny komplexní vektory a v sou?inu nahradit oby?ejnou transpozici ${\boldsymbol {x}}^{\mathsf {T}}$ za hermitovskou transpozici ${\boldsymbol {x}}^{\mathsf {H}}$.

• Matici ${\boldsymbol {A}}$ ozna?ujeme jako unitární, jestli?e inverzní matice ${\boldsymbol {A}}^{-1}$ je rovna matici hermitovsky sdru?ené ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$, tzn.

${\boldsymbol {A}}^{-1}={\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$

Odkazy

Reference

V tomto ?lánku byl pou?it p?eklad textu z ?lánku Square matrix na anglické Wikipedii.

Literatura

• Slovník ?kolské matematiky. Praha: SPN, 1981. 240 s. 

• B?RTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198. 
• BE?Vá?, Jind?ich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
• HLADíK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39. 
• OL?áK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2025-08-14]. Dostupné online. 
• MOTL, Lubo?; ZAHRADNíK, Milo?. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2025-08-14]. Dostupné online. 

Související ?lánky

• Determinant matice
• Hodnost matice
• Inverzní matice
• Regulární matice

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky ?i videa k tématu ?tvercová matice na Wikimedia Commons

Portály: Matematika