教育校园--黑龙江频道--人民网

Schematické nazna?ení symetrie v ?tvercové matici stupně pět

百度 苏炳添个人简介苏炳添，1989年8月29日出生于广东省中山市，暨南大学2013级经济学院国际贸易专业研究生，中国男子短跑运动员。

Symetrická matice je v lineární algeb?e ka?dá ?tvercová matice, která je osově souměrná podle své hlavní diagonály. Jedná o ?tvercovou matici, která se shoduje se svou transponovanou maticí, neboli ${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }$.

Symetrické matice se v lineární algeb?e pou?ívají k popisu symetrickych bilineárních forem. Matice samoadjungovaného lineárního zobrazení vzhledem k ortonormální bázi je v?dy symetrická. Soustavy lineárních rovnic se symetrickymi maticemi soustavy lze ?e?it efektivně a numericky stabilně. Dále se symetrické matice pou?ívají v ortogonálních projekcích a p?i polárním rozkladu matic.

Symetrické matice mají aplikace také v geometrii, analyze, teorii graf? a stochastice.

Definice

?tvercová matice ${\boldsymbol {A}}$ ?ádu $n$ nad tělesem $T$, se nazyvá symetrická, pokud pro v?echna $i,j\in \{1,\ldots ,n\}$ platí:

$a_{ij}=a_{ji}$.

Matice, která není symetrická se nazyvá asymetrická, neplést s antisymetrickou maticí.

P?íklady

Symetrickymi maticemi jsou nap?íklad:

${\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1&5\\5&7\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1&3&0\\3&2&6\\0&6&5\end{pmatrix}}$.

Obecně mají symetrické matice o rozměrech $2\times 2$, $3\times 3$ a $4\times 4$ následující podobu:

${\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}a&b&c&d\\b&e&f&g\\c&f&h&i\\d&g&i&j\end{pmatrix}}$.

Speciální p?ípady

Některé symetrické matice se zvlá?tními vlastnostmi mají vlastní název:

• ?tvercová nulová matice obsahuje jen nulové prvky
• ?tvercová jedni?ková matice obsahuje jen jednotkové prvky
• diagonální matice jsou takové matice, které mají mimo diagonálu jen nulové prvky
• Hankelova matice je matice, která je konstantní v rámci diagonál vedoucích seshora zprava doleva dol?
• bisymetrická matice je matice osově symetrická podle hlavní diagonály i vedlej?í diagonály

Vlastnosti

Popis

U symetrické matice sta?í znát pouze prvky na diagonále a pod ní

U symetrické matice ${\boldsymbol {A}}\in T^{n\times n}$ sta?í znát $n$ prvk? na diagonále a ${\tfrac {n(n-1)}{2}}$ prvk? na jedné straně diagonály (nad nebo pod). Hodnoty prvk? na opa?né straně diagonály lze odvodit ze symetrie matice. Symetrická matice m??e mít nejvy?e

$n+{\frac {n(n-1)}{2}}={\frac {n(n+1)}{2}}$

r?znych prvk?. Ve srovnání s nesymetrickymi maticemi ?ádu $n$, které mohou mít a? $n^{2}$ r?znych prvk?, jde zhruba o polovi?ní mno?ství dat, a proto byly pro symetrické matice navr?eny speciální formáty pro ukládání v po?íta?i.

Vektorovy prostor symetrickych matic

Sou?et ${\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}}$ dvou symetrickych matic ${\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\in T^{n\times n}$ je v?dy symetrická matice, proto?e

$({\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}})^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }+{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}}$

Stejně tak i skalární násobek $c{\boldsymbol {A}}$ symetrické matice skalárem $c\in T$ je opět symetrická matice. Proto?e je nulová matice také symetrická, tvo?í mno?ina symetrickych matic ?ádu $n$ vektorovy podprostor

$\operatorname {Symm} _{n}=\{{\boldsymbol {A}}\in T^{n\times n}\colon {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {A}}\}$

prostoru ?tvercovych matic $T^{n\times n}$. Tento podprostor má dimenzi ${\tfrac {n^{2}+n}{2}}$. Jeho bázi lze vytvo?it z matic $\mathbf {E} _{ii}$ pro $i\in \{1,\dots ,n\}$, a sou?t? $\mathbf {E} _{ij}+\mathbf {E} _{ji}$ pro $1\leq i<j\leq n$. Uvedené matice $\mathbf {E} _{ij}$ tvo?í standardní bázi prostoru $T^{n\times n}$ , ?ili mají jediny nenulovy prvek $\mathbf {e} _{ij}=1$.

Rozklad

Pokud je charakteristika tělesa $T$ r?zná od 2, lze libovolnou ?tvercovou matici ${\boldsymbol {M}}\in T^{n\times n}$ zapsat jednozna?ně jako sou?et ${\boldsymbol {M}}={\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}}$, kde matice ${\boldsymbol {A}}$ je symetrická a matice ${\boldsymbol {B}}$ je antisymetrická:

${\boldsymbol {A}}={\frac {1}{2}}({\boldsymbol {M}}+{\boldsymbol {M}}^{\mathrm {T} })$  a  ${\boldsymbol {B}}={\frac {1}{2}}({\boldsymbol {M}}-{\boldsymbol {M}}^{\mathrm {T} })$

Antisymetrické matice tvo?í vektorovy podprostor prostoru ?tvercovych matic. Zna?í se $\operatorname {Skew} _{n}$a má dimenzi ${\tfrac {n^{2}-n}{2}}$. Prostor ?tvercovych matic $T^{n\times n}$ dimenze $n^{2}$ lze vyjád?it jako direktní sou?et

$T^{n\times n}=\operatorname {Symm} _{n}\oplus \operatorname {Skew} _{n}$

prostor? symetrickych a antisymetrickych matic.

Sou?in

Sou?in ${\boldsymbol {AB}}$ dvou symetrickych matic ${\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\in T^{n\times n}$ nemusí byt opět symetrická matice. Sou?in symetrickych matic je symetricky, právě kdy? je sou?in ${\boldsymbol {A}}$ a ${\boldsymbol {B}}$ komutativní. Jinymi slovy, pokud sou?in splňuje ${\boldsymbol {AB}}={\boldsymbol {BA}}$, pak také platí:

$({\boldsymbol {AB}})^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {B}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {BA}}={\boldsymbol {AB}}$ .

Pro symetrickou matici ${\boldsymbol {A}}$ proto platí, ?e symetrické jsou v?echny její mocniny ${\boldsymbol {A}}^{k}$, kde $k\in \mathbb {N}$, i její maticová exponenciála $e^{\boldsymbol {A}}$.

Pro ka?dou matici ${\boldsymbol {M}}\in T^{m\times n}$ jsou matice ${\boldsymbol {MM}}^{\mathrm {T} }$ typu $m\times m$, i matice ${\boldsymbol {M}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {M}}$ typu $n\times n$ symetrické.

Kongruence a podobnost

Ka?dá matice ${\boldsymbol {B}}\in T^{n\times n}$, která je kongruentní symetrické matici ${\boldsymbol {A}}\in T^{n\times n}$, je také symetrická, proto?e platí

${\boldsymbol {B}}^{\mathrm {T} }=({\boldsymbol {S}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {S}})^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {S}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {S}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {B}}$,

p?i?em? ${\boldsymbol {S}}\in T^{n\times n}$ je odpovídající regulární matice.

Na druhou stranu existují i nesymetrické matice, které jsou podobné symetrické matici.

Inverze

Pokud je symetrická matice ${\boldsymbol {A}}\in T^{n\times n}$ regulární, potom matice k ní inverzní ${\boldsymbol {A}}^{-1}$ je symetrická, proto?e pro ni platí:

$({\boldsymbol {A}}^{-1})^{\mathrm {T} }=({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} })^{-1}={\boldsymbol {A}}^{-1}$ .

V tomto p?ípadě jsou symetrické v?echny mocniny ${\boldsymbol {A}}^{-k}$ pro $k\in \mathbb {N}$.

Reálné symetrické matice

Symetrické matice s reálnymi prvky mají ?adu dal?ích vlastností.

Normální matice

Reálná symetrická matice ${\boldsymbol {A}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ je normální, proto?e platí

${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }$.

Ka?dá reálná symetrická matice komutuje se svou transpozicí. Existují v?ak i normální matice, které nejsou symetrické, nap?íklad antisymetrické matice.

Hermitovské matice

Proto?e se na $\mathbb {R}$ ka?dé ?íslo shoduje se svym komplexně sdru?enym protěj?kem, neboli $z={\overline {z}}$, splyvají reálné symetrické matice s reálnymi hermitovskymi. Formálně:

${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }={\overline {\boldsymbol {A}}}^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {A}}$,

p?i?em? ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$ je hermitovská transpozice matice ${\boldsymbol {A}}$ a ${\overline {\boldsymbol {A}}}$ je komplexně sdru?ená matice k ${\boldsymbol {A}}$.

Reálná symetrická matice ${\boldsymbol {A}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ je v?dy hermitovská mimo jiné i proto, ?e vzhledem k standardnímu skalárnímu sou?inu $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ na $\mathbb {R} ^{n}$ splňuje:

$\langle {\boldsymbol {Ax}},{\boldsymbol {y}}\rangle =({\boldsymbol {Ax}})^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {y}}={\boldsymbol {x}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {y}}={\boldsymbol {x}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {Ay}}=\langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {Ay}}\rangle$

pro v?echny vektory ${\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\in \mathbb {R} ^{n}$. Reálné symetrické matice jsou hermitovské i s ohledem na standardní skalární sou?in nad $\mathbb {C}$.

Vlastní ?ísla

Jednotková kru?nice je transformována na elipsu pomocí reálné symetrické matice ?ádu 2. Poloosy elipsy odpovídají vlastním vektor?m matice a jejich délky vlastním ?ísl?m.

Vlastní ?ísla reálné symetrické matice ${\boldsymbol {A}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$, tedy ?e?ení rovnice ${\boldsymbol {Ax}}=\lambda {\boldsymbol {x}}$, jsou v?dy reálná. Kdyby $\lambda \in \mathbb {C}$ bylo komplexní vlastní ?íslo matice ${\boldsymbol {A}}$ p?íslu?né netriviálnímu vlastnímu vektoru ${\boldsymbol {x}}\in \mathbb {C} ^{n}$, ${\boldsymbol {x}}\neq {\boldsymbol {0}}$, pak z toho, ?e ${\boldsymbol {A}}$ je hermitovská plyne:

$\lambda \langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {x}}\rangle =\langle {\boldsymbol {x}},\lambda {\boldsymbol {x}}\rangle =\langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {Ax}}\rangle =\langle {\boldsymbol {Ax}},{\boldsymbol {x}}\rangle =\langle \lambda {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {x}}\rangle ={\overline {\lambda }}\langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {x}}\rangle$.

Proto?e pro ka?dé ${\boldsymbol {x}}\neq {\boldsymbol {0}}$ platí $\langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {x}}\rangle \neq 0$, musí vlastní ?íslo $\lambda$ splňovat $\lambda ={\overline {\lambda }}$, a proto je reálné. V d?sledku lze i p?íslu?ny vlastní vektor ${\boldsymbol {x}}$ zvolit reálny.

Násobnosti vlastních ?ísel

Pro ka?dou reálnou symetrickou matici ${\boldsymbol {A}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ se algebraické a geometrické násobnosti v?ech vlastních ?ísel shodují. D?vod je následující. Pro vlastní ?íslo $\lambda$ matice ${\boldsymbol {A}}$ s geometrickou násobností $k$ existuje ortonormální báze $\{{\boldsymbol {x}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {x}}_{k}\}$ prostoru vlastních vektor? p?íslu?nych k $\lambda$. Tuto bázi lze roz?í?it pomocí vektor?$\{{\boldsymbol {x}}_{k+1},\ldots ,{\boldsymbol {x}}_{n}\}$ na ortonormální bázi celého prostoru $\mathbb {R} ^{n}$. S pomocí ortogonální matice ${\boldsymbol {S}}=({\boldsymbol {x}}_{1}\mid \cdots \mid {\boldsymbol {x}}_{n})$ je matice ${\boldsymbol {A}}$ p?evedena na podobnou

${\boldsymbol {C}}={\boldsymbol {S}}^{-1}{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {S}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {S}}=\left({\begin{array}{c|c}\lambda \mathbf {I} &{\boldsymbol {0}}\\\hline {\boldsymbol {0}}&{\boldsymbol {X}}\end{array}}\right)$

co? je bloková diagonální matice s bloky $\lambda \mathbf {I} \in \mathbb {R} ^{k\times k}$ a ${\boldsymbol {X}}\in \mathbb {R} ^{(n-k)\times (n-k)}$. Vzhledem k tomu, ?e matice ${\boldsymbol {A}}$ je hermitovská a vektory ${\boldsymbol {x}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {x}}_{n}$tvo?í ortonormální bázi, platí pro prvky $c_{ij}$ matice $C$ s indexy $\min\{i,j\}\leq k$, ?e:

$c_{ij}=\langle {\boldsymbol {x}}_{i},{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {x}}_{j}\rangle =\langle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {x}}_{i},{\boldsymbol {x}}_{j}\rangle =\lambda \langle {\boldsymbol {x}}_{i},{\boldsymbol {x}}_{j}\rangle =\lambda \delta _{ij}$,

kde $\delta _{ij}$ je Kroneckerovo delta. Vektory ${\boldsymbol {x}}_{k+1},\ldots ,{\boldsymbol {x}}_{n}$ nejsou podle p?edpokladu vlastní vektory matice ${\boldsymbol {A}}$ p?íslu?né vlastnímu ?íslu $\lambda$, proto $\lambda$ není ?ádnym vlastním ?íslem matice ${\boldsymbol {X}}$. Vlastní ?íslo $\lambda$ matice ${\boldsymbol {C}}$ má podle vzorce pro determinant blokovych matic shodnou algebraickou i geometrickou násobnost $k$. Toté? platí i pro matici ${\boldsymbol {A}}$ díky vzájemné podobnosti s maticí ${\boldsymbol {C}}$.

Diagonalizovatelnost

Vzhledem k tomu, ?e se algebraické a geometrické násobnosti v?ech vlastních ?ísel shodují, a proto?e vlastní vektory p?íslu?né r?znym vlastním ?ísl?m jsou lineárně nezávislé, tvo?í vlastní vektory reálné symetrické matice ${\boldsymbol {A}}$ bázi prostoru $\mathbb {R} ^{n}$. Reálná symetrická matice je tedy v?dy diagonalizovatelná, to znamená, ?e existuje regulární matice ${\boldsymbol {S}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ a diagonální matice ${\boldsymbol {D}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$splňující:

${\boldsymbol {S}}^{-1}{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {D}}$

Matice ${\boldsymbol {S}}=({\boldsymbol {x}}_{1}\mid \cdots \mid {\boldsymbol {x}}_{n})$ je sestavena z vlastních vektor? ${\boldsymbol {x}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {x}}_{n}$ po sloupcích a matice ${\boldsymbol {D}}=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})$ má vlastní ?ísla $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ p?íslu?ná těmto vlastním vektor?m na diagonále. Vzhledem k tomu, ?e sloupce matice ${\boldsymbol {S}}$, neboli vlastní vektory lze libovolně p?erovnat, m??e byt odpovídající po?adí prvk? na diagonále ${\boldsymbol {D}}$ libovolné. V d?sledku si dvě reálné symetrické matice jsou podobné, právě kdy? mají stejná vlastní ?ísla. Kromě toho jsou dvě reálné symetrické matice sou?asně diagonalizovatelné, právě kdy? spolu komutují.

Ortogonální diagonalizace

U symetrickych matic platí, ?e vlastní vektory (modry a fialovy) p?íslu?né r?znym vlastním ?ísl?m (zde 3 a 1) jsou na sebe kolmé. P?i provedení transformace odpovídající matici se modré vektory t?ikrát prodlou?í, zatímco fialové vektory si svou délku zachovají.

Vlastní vektory ${\boldsymbol {x}}_{i},{\boldsymbol {x}}_{j}$ p?íslu?né dvěma r?znym vlastním ?ísl?m $\lambda _{i}\neq \lambda _{j}$ reálné symetrické matici ${\boldsymbol {A}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ jsou vzájemně kolmé. Uvedeny vztah opět z následující vlastnosti hermitovskych matic ${\boldsymbol {A}}$:

$\lambda _{i}\langle {\boldsymbol {x}}_{i},{\boldsymbol {x}}_{j}\rangle =\langle \lambda _{i}{\boldsymbol {x}}_{i},{\boldsymbol {x}}_{j}\rangle =\langle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {x}}_{i},{\boldsymbol {x}}_{j}\rangle =\langle {\boldsymbol {x}}_{i},{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {x}}_{j}\rangle =\langle {\boldsymbol {x}}_{i},\lambda _{j}{\boldsymbol {x}}_{j}\rangle =\lambda _{j}\langle {\boldsymbol {x}}_{i},{\boldsymbol {x}}_{j}\rangle$ .

Z p?edpokladu, ?e $\lambda _{i}$ a $\lambda _{j}$ jsou r?zná, pak plyne $\langle {\boldsymbol {x}}_{i},{\boldsymbol {x}}_{j}\rangle =0$. Vlastní vektory ${\boldsymbol {A}}$ tvo?í ortonormální bázi prostoru $\mathbb {R} ^{n}$. Ka?dou reálnou symetrickou matici lze proto ortogonálně diagonalizovat, neboli existuje ortogonální matice ${\boldsymbol {S}}$ splňující:

${\boldsymbol {S}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {D}}$

Tato reprezentace tvo?í základ pro transformaci hlavní osy a je nejjednodu??í verzí spektrální věty.

Parametry

Ka?dá reálná symetrická matice ${\boldsymbol {A}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ diagonalizovatelná, a proto pro její stopu platí:

$\operatorname {tr} {\boldsymbol {A}}=\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}$

Její determinant tudí? splňuje:

$\det {\boldsymbol {A}}=\lambda _{1}\cdot \ldots \cdot \lambda _{n}$

Hodnost reálné symetrické matice je rovna po?tu nenulovych vlastních ?ísel. Za pomoci Kroneckerovy delty ji lze vyjád?it vyrazem

$\operatorname {rank} {\boldsymbol {A}}=n-\left(\delta _{\lambda _{1},0}+\ldots +\delta _{\lambda _{n},0}\right)$ .

Reálná symetrická matice je regulární, právě kdy? má v?echna vlastní ?ísla nenulová. Spektrální norma reálné symetrické matice je

$\|{\boldsymbol {A}}\|_{2}=\max\{|\lambda _{1}|,\ldots ,|\lambda _{n}|\}$

a tedy rovna spektrálnímu poloměru matice. Frobeniova norma vyplyvá z normality

$\|{\boldsymbol {A}}\|_{\mathrm {F} }={\sqrt {\lambda _{1}^{2}+\ldots +\lambda _{n}^{2}}}$.

Definitnost

Podrobněj?í informace naleznete v ?lánku Pozitivně definitní matice.

Pro reálnou symetrickou matici ${\boldsymbol {A}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ a vektor ${\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{n}$ se vyraz

$Q_{\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {x}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {Ax}}=\langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {Ax}}\rangle$

nazyvá kvadratická forma ur?ená maticí ${\boldsymbol {A}}$. Podle toho, jestli je $Q_{\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {x}})$ pro v?echna ${\boldsymbol {x}}\neq 0$ kladná, resp. nezáporná, záporná ?i nekladná, nazyvá se matrice ${\boldsymbol {A}}$ pozitivně definitní, resp. pozitivně semidefinitní, negativně definitní nebo negativně semidefinitní. Pokud $Q_{\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {x}})$ nabyvá kladnych i zápornych hodnot, nazyvá se matice ${\boldsymbol {A}}$ indefinitní. Definitnost reálné symetrické matice závisí na znaméncích jejích vlastních ?ísel. Pokud jsou v?echna vlastní ?ísla kladná, je matice pozitivně definitní, pokud jsou v?echna záporná, je matice negativně definitní atd. Trojice ?ísel daná po?tem kladnych, zápornych a nulovych vlastních ?ísel se nazyvá signatura matice. Podle Sylvesterova zákona setrva?nosti je signatura zachována u kongruentních reálnych symetrickych matic.

Odhady vlastních ?ísel

Podle Courant-Fischerovy věty lze nejmen?í a největ?í vlastní ?íslo symetrické ${\boldsymbol {A}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ odhadnout pomocí Rayleighova kvocientu. Konkrétně, pro v?echna netriviální ${\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{n}$ platí:

$\min\{\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\}\leq {\frac {\langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {Ax}}\rangle }{\langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {x}}\rangle }}\leq \max\{\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\}$

Rovnost platí, právě kdy? je ${\boldsymbol {x}}$ je vlastní vektor p?íslu?ny k danému vlastnímu ?íslu. V d?sledku lze nejmen?í a největ?í vlastní ?íslo reálné symetrické matice ur?it minimalizací nebo maximalizací Rayleighova kvocientu.

Dal?í mo?nost pro odhad vlastních ?ísel nabízejí Ger?gorinovy kruhy, které u reálnych symetrickych matic mají tvar interval?.

Pro dvě reálné symetrické matice ${\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ s vlastními ?ísly se?azenymi sestupně $\lambda _{1}\geq \ldots \geq \lambda _{n}$ a $\mu _{1}\geq \ldots \geq \mu _{n}$ platí odhad

$\operatorname {tr} ({\boldsymbol {AB}})\leq \lambda _{1}\mu _{1}+\ldots +\lambda _{n}\mu _{n}$.

Rovnost je splněna, právě kdy? matice ${\boldsymbol {A}}$ a ${\boldsymbol {B}}$ jsou sou?asně diagonalizovatelné vzhledem k uspo?ádání vlastních ?ísel, neboli kdy? existuje ortogonální matice ${\boldsymbol {S}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ taková, ?e platí ${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {S}}\operatorname {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}){\boldsymbol {S}}^{\mathrm {T} }$ a ${\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {S}}\operatorname {diag} (\mu _{1},\ldots ,\mu _{n}){\boldsymbol {S}}^{\mathrm {T} }$. Uvedená nerovnost zobecňuje Cauchy-Schwarzovu nerovnost pro Frobeni?v skalární sou?in a permuta?ní nerovnost pro vektory.

Komplexní symetrické matice

Rozklad

Podobně jako u reálnych matic lze prostor komplexních ?tvercovych matic ${\mathbb {C} }^{n\times n}$ zapsat jako direktní sou?et prostor? symetrickych a antisymetrickych matic:

${\mathbb {C} }^{n\times n}=\operatorname {Symm} _{n}\oplus \operatorname {Skew} _{n}$

Jde zároveň o ortogonální sou?et vzhledem k Frobeniově skalárnímu sou?inu, proto?e pro v?echny matice ${\boldsymbol {A}}\in \operatorname {Symm} _{n}$ a ${\boldsymbol {B}}\in \operatorname {Skew} _{n}$ platí:

$\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=\operatorname {tr} ({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {B}})=\operatorname {tr} ({\overline {\boldsymbol {A}}}{\boldsymbol {B}})=\operatorname {tr} ({\boldsymbol {B}}{\overline {\boldsymbol {A}}})=\operatorname {tr} (({\boldsymbol {B}}{\overline {\boldsymbol {A}}})^{\mathrm {T} })=-\operatorname {tr} ({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {B}})=-\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }$

z ?eho? vyplyvá $\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=0$. Ortogonalita rozkladu platí i pro reálny maticovy prostor ${\mathbb {R} }^{n\times n}$.

Spektrum

Pro komplexní matice ${\boldsymbol {A}}\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ nemá symetrie ?ádny zvlá?tní vliv na spektrum matice. Komplexní symetrická matice m??e mít nereálná vlastní ?ísla. Nap?íklad komplexní symetrická matice ${\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}1&\mathrm {i} \\\mathrm {i} &1\end{pmatrix}}\in \mathbb {C} ^{2\times 2}$má dvě vlastní ?ísla $\lambda _{1,2}=1\pm \mathrm {i}$ .

Existují komplexní symetrické matice, které nelze diagonalizovat. Nap?íklad matice ${\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}1&\mathrm {i} \\\mathrm {i} &-1\end{pmatrix}}\in \mathbb {C} ^{2\times 2}$ má jediné vlastní ?íslo $\lambda =0$ s algebraické násobnosti dvě a geometrické násobnosti jedna. Obecně platí, ?e jakákoli komplexní ?tvercová matice je podobná komplexní symetrické matici. Spektrum komplexní symetrické matice proto nevykazuje ?ádné zvlá?tnosti.

Komplexním roz?í?ením reálnych symetrickych matic, pokud jde o matematické vlastnosti, jsou hermitovské matice.

Rozklad

Libovolnou komplexní symetrickou matici ${\boldsymbol {A}}\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ lze pomocí Autonne-Takagiho faktorizace rozlo?it na sou?in

${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {U}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {D}}{\boldsymbol {U}}$,

kde matice ${\boldsymbol {U}}\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ je unitární, ${\boldsymbol {D}}=\operatorname {diag} (\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n})\in \mathbb {R} ^{n\times n}$je reálná diagonální. Prvky diagonální matice jsou singulární hodnoty ${\boldsymbol {A}}$, neboli odmocniny vlastních ?ísel matice ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {A}}$.

Pou?ití

Symetrické bilineární formy

Ka?dá bilineární forma $b\colon V\times V\to T$ na vektorovém prostoru $V$ dimenze $n$ nad tělesem $T$ m??e byt vzhledem k bázi $\{{\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{n}\}$ prostoru $V$ reprezentována ?tvercovou maticí ${\boldsymbol {A}}_{b}\in T^{n\times n}$ danou vztahem:

$({\boldsymbol {A}}_{b})_{ij}=b({\boldsymbol {v}}_{i},{\boldsymbol {v}}_{j})$

Pokud je bilineární forma symetrická, pak platí $b({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})=b({\boldsymbol {w}},{\boldsymbol {v}})$ pro v?echny ${\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}}\in V$, a matice ${\boldsymbol {A}}_{b}$ je symetrická. Naopak ka?dá symetrická matice ${\boldsymbol {A}}\in T^{n\times n}$ definuje symetrickou bilineární formu $b_{\boldsymbol {A}}\colon T^{n}\times T^{n}\to T$ vztahem:

$b_{\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})={\boldsymbol {x^{\mathrm {T} }Ay}}$

Je-li matice ${\boldsymbol {A}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ navíc pozitivně definitní, pak $b_{\boldsymbol {A}}$ p?edstavuje skalární sou?in na euklidovském prostoru $\mathbb {R} ^{n}$.

Samoadjungované zobrazení

Je-li $(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ reálny prostor se skalárním sou?inem dimenze $n$, pak m??e byt ka?dé lineární zobrazení $f\colon V\to V$ vzhledem k ortonormální bázi $\{{\boldsymbol {e}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {e}}_{n}\}$ prostoru $V$ reprezentováno maticí zobrazení

${\boldsymbol {A}}_{f}=(a_{ij})\in \mathbb {R} ^{n\times n}$,

kde $f({\boldsymbol {e}}_{j})=a_{1j}{\boldsymbol {e}}_{1}+\ldots +a_{nj}{\boldsymbol {e}}_{n}$ pro $j=1,\ldots ,n$. Matice zobrazení ${\boldsymbol {A}}_{f}$ je symetrická, právě kdy? je zobrazení $f$ samoadjungované. To vyplyvá ze vztahu

$\langle f({\boldsymbol {v}}),{\boldsymbol {w}}\rangle =({\boldsymbol {A}}_{f}{\boldsymbol {x}})^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {y}}={\boldsymbol {x}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {A}}_{f}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {y}}={\boldsymbol {x}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {A}}_{f}{\boldsymbol {y}}={\boldsymbol {x}}^{\mathrm {T} }({\boldsymbol {A}}_{f}{\boldsymbol {y}})=\langle {\boldsymbol {v}},f({\boldsymbol {w}})\rangle$,

kde ${\boldsymbol {x}}$ a ${\boldsymbol {y}}$ jsou vektory sou?adnic vektor? ${\boldsymbol {v}}=x_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+\ldots +x_{n}{\boldsymbol {e}}_{n}$ a ${\boldsymbol {w}}=y_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+\ldots +y_{n}{\boldsymbol {e}}_{n}$.

Projekce a souměrnost

Ortogonální rozklady jsou popsány symetrickymi maticemi

Je-li opět $(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ reálny prostor se skalárním sou?inem dimenze $n$ a $U$ je jeho $k$-dimenzionální podprostor, p?i?em? ${\boldsymbol {x}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {x}}_{k}$ jsou vektory ortonormální báze prostoru $U$, potom matice kolmé projekce na podprostor $U$ je

${\boldsymbol {A}}_{U}={\boldsymbol {x}}_{1}{\boldsymbol {x}}_{1}^{\mathrm {T} }+\ldots +{\boldsymbol {x}}_{k}{\boldsymbol {x}}_{k}^{\mathrm {T} }\in \mathbb {R} ^{n\times n}$.

Tato matice je symetrická, nebo? je dána sou?tem symetrickych matic. Také matice kolmé projekce do ortogonálního doplňku $U^{\bot }$ je díky reprezentaci ${\boldsymbol {A}}_{U^{\bot }}=\mathbf {I} -{\boldsymbol {A}}_{U}$ v?dy symetrická. S pomocí matic projekcí ${\boldsymbol {A}}_{U}$ a ${\boldsymbol {A}}_{U^{\perp }}$ m??e byt libovolny vektor ${\boldsymbol {v}}\in V$ rozlo?en na sou?et vzájemně kolmych vektor? ${\boldsymbol {u}}\in U$ a ${\boldsymbol {u}}^{\perp }\in U^{\perp }$. Geometrická transformace souměrnosti podle podprostoru $U$ má symetrickou matici $\mathbf {I} -2{\boldsymbol {A}}_{U}$.

Soustavy lineárních rovnic

?e?ení soustavy lineárních rovnic ${\boldsymbol {Ax}}={\boldsymbol {b}}$ se symetrickou maticí soustavy ${\boldsymbol {A}}$ m??e byt zjednodu?eno, pokud se vyu?ije symetrie matice ${\boldsymbol {A}}$, konkrétně jejího rozkladu:

${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {LDL}}^{\mathrm {T} }$

s dolní trojúhelníkovou matricí ${\boldsymbol {L}}$ s jedni?kami na diagonále a diagonální maticí ${\boldsymbol {D}}$. Tento rozklad se pou?ívá nap?. p?i Choleského rozkladu pozitivně-definitivních symetrickych matic.

Metody CG a MINRES jsou p?íklady moderních p?ístup? pro numerické ?e?ení rozsáhlych soustav lineárních rovnic s ?ídkou symetrickou maticí soustavy.

Polární rozklad

Ka?dá ?tvercová matice ${\boldsymbol {A}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ má polární rozklad

${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {QP}}$

s ortogonální maticí ${\boldsymbol {Q}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ a pozitivní semidefinitní symetrickou maticí ${\boldsymbol {P}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$. Matice ${\boldsymbol {P}}$ je druhá odmocnina z ${\boldsymbol {A^{\mathrm {T} }A}}$ . Pokud je ${\boldsymbol {A}}$ regulární, je ${\boldsymbol {P}}$ pozitivně definitní a polární rozklad je pak dán ${\boldsymbol {Q}}={\boldsymbol {AP}}^{-1}$.

Aplikace

Geometrie

Kvadriky lze popsat symetrickymi maticemi

Kvadrika v $n$ -rozměrném euklidovském prostoru je mno?ina ko?en? kvadratického polynomu v $n$ neznámych. Ka?dou kvadriku lze definovat pomocí nenulové symetrické matice ${\boldsymbol {A}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$, vektoru ${\boldsymbol {b}}\in \mathbb {R} ^{n}$ a absolutního ?lenu $c\in \mathbb {R}$ jako mno?inu bod?

$Q=\left\{{\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{n}\mid {\boldsymbol {x^{\mathrm {T} }Ax}}+2{\boldsymbol {b^{\mathrm {T} }x}}+c=0\right\}$.

Analyza

Charakterizaci extrém? dvakrát spojitě derivovatelnych funkcí $f\colon D\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ lze provést pomocí Hessovy matice

$H_{f}(x)=\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}(x)\right)\in \mathbb {R} ^{n\times n}$

Hessova matice je podle Schwarzovy věty symetrická. Podle toho, jestli je $H_{f}(x)$ je pozitivně definitní, negativně definitní nebo indefinitní le?í v bodě $x$ lokální minimum, lokální maximum nebo sedlovy bod.

Teorie graf?

Neorientovany hranově­ vá?eny graf má symetrickou matici sousednosti.

Matice sousednosti ${\boldsymbol {A}}_{G}$ neorientovaného hranově vá?eného grafu $G=(V,E,d)$ s mno?inou vrchol? $V=\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ je z definice

${\boldsymbol {A}}_{G}=(a_{ij})\in (\mathbb {R} \cup \infty )^{n\times n}$, kde ${\boldsymbol {A}}_{ij}={\begin{cases}d(e)&{\text{pro}}~e=\{v_{i},v_{j}\}\in E\\\infty &{\text{jinak}}\end{cases}}$

v?dy symetrická. Matice odvozené z matice sousednosti sou?ty nebo mocninami, jako nap?íklad Laplaceova matice, matice sousednosti nebo matice vzdálenosti jsou také symetrické. Analyza těchto matic je p?edmětem spektrální teorie graf?.

Stochastika

Je-li $X=(X_{1},\ldots ,X_{n})$ náhodny vektor sestávající z $n$ reálnych náhodnych veli?in $X_{1},\ldots ,X_{n}$ s kone?nym rozptylem, pak p?idru?ená kovarian?ní matice

$\Sigma _{X}=\left(\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})\right)\in \mathbb {R} ^{n\times n}$

je matice v?ech párovych kovariancí těchto náhodnych veli?in. Proto?e pro v?echna $i,j\in \{1,\ldots ,n\}$ platí: $\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=\operatorname {Cov} (X_{j},X_{i})$, je kovarian?ní matice symetrická.

Symetrizovatelná matice

?tvercová matice ${\boldsymbol {A}}$ se nazyvá symetrizovatelná, pokud existuje regulární diagonální matice ${\boldsymbol {D}}$ a symetrická matice ${\boldsymbol {S}}$ takové, ?e ${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {DS}}$.

Transpozice symetrizovatelné matice je symetrická, proto?e ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }=({\boldsymbol {DS}})^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {SD}}={\boldsymbol {D}}^{-1}({\boldsymbol {DSD}})$ a ${\boldsymbol {DSD}}$ je symetrická.

Matice ${\boldsymbol {A}}$ je symetrizovatelná, právě kdy? jsou splněny následující podmínky:

1. $a_{ij}=0$ implikuje $a_{ji}=0$ pro v?echna $i,j\in \{1,\dots ,n\}$ a
2. $a_{i_{1}i_{2}}a_{i_{2}i_{3}}\dots a_{i_{k}i_{1}}=a_{i_{2}i_{1}}a_{i_{3}i_{2}}\dots a_{i_{1}i_{k}}$ pro jakoukoli kone?nou posloupnost $\left(i_{1},i_{2},\dots ,i_{k}\right).$

Odkazy

Reference

V tomto ?lánku byly pou?ity p?eklady text? z ?lánk? Symmetrische Matrix na německé Wikipedii a Symmetric matrix na anglické Wikipedii.

Literatura

• Slovník ?kolské matematiky. Praha: SPN, 1981. 240 s. 
• B?RTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198. 
• BE?Vá?, Jind?ich. Lineární algebra. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
• HLADíK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. 
• OL?áK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2025-08-14]. Dostupné online. 
• MOTL, Lubo?; ZAHRADNíK, Milo?. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2025-08-14]. Dostupné online. 

Související ?lánky

• Hermitovská matice
• Lineární zobrazení
• Podobnost matic
• Stopa matice
• Vlastní vektory a vlastní ?ísla

Autoritní data	GND: 4314057-9 LCCN: sh85131435 NLI: 987007553677705171