一厢情愿什么意思

百度 长城在俄罗斯车市状况频现，原因多种多样，主因是长城本身的企业文化与俄罗斯文化格格不入，长城明显还未学会如何入乡随俗，而将其管理国内经销商的手段搬到俄罗斯显然行不通，致使与其官方代理商伊利托公司始终无法和谐共处，导致长城在俄罗斯车市，眼看连续多年SUV车型的火爆行情，却无法从中分得一杯羹。

V lineární algeb?e je podobnost ekvivalencí na t?ídě ?tvercovych matic. Podobné matice p?edstavují stejné lineární zobrazení vzhledem k r?znym bázím.

Transformace ${\boldsymbol {A}}\to {\boldsymbol {R}}^{-1}{\boldsymbol {AR}}$ se nazyvá podobnostní transformace nebo konjugace matice ${\boldsymbol {A}}$. V obecné lineární grupě odpovídá podobnost konjugaci a podobné matice se také nazyvají konjugované.

Definice

Dvě ?tvercové matice ${\boldsymbol {A}}$ a ${\boldsymbol {B}}$ nazyvají podobné, pokud existuje regulární matice ${\boldsymbol {R}}$ taková, ?e platí:

${\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {R}}^{-1}{\boldsymbol {AR}}$

Aby měla rovnost smysl, musejí byt v?echny t?i matice tého? ?ádu a nad stejnym tělesem $T$.

Proto?e vynásobení regulární maticí je ekvivalentní úprava maticové rovnosti, je podmínka ${\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {R}}^{-1}{\boldsymbol {AR}}$ ekvivalentní podmínkám ${\boldsymbol {RB}}={\boldsymbol {AR}}$ a také ${\boldsymbol {RBR}}^{-1}={\boldsymbol {A}}$.

Ukázka

Dvě reálné matice

${\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}-3&2\\-1&0\end{pmatrix}}$ a ${\boldsymbol {B}}={\begin{pmatrix}2&3\\-4&-5\end{pmatrix}}$

si jsou navzájem podobné, proto?e pro regulární matici

${\boldsymbol {R}}={\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}}$

platí:

${\boldsymbol {R}}^{-1}{\boldsymbol {AR}}={\begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-3&2\\-1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\-2&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&3\\-4&-5\end{pmatrix}}={\boldsymbol {B}}$

Matice ${\boldsymbol {R}}$ není dána jednozna?ně, proto?e i ka?dy její nenulovy skalární násobek $c{\boldsymbol {R}}$ splňuje uvedenou rovnost.

Rotaci $f$ o úhel $\alpha$ lze popsat jednoduchou maticí ${\boldsymbol {A}}$ vzhledem k sou?adnému systému $x',y',z'$ vyzna?enému zeleně. Matice ${\boldsymbol {B}}$, popisující tu samou rotaci $f$ v??i sou?adnému systému $x,y,z$, je jí podobná.

Reprezentace lineárních zobrazení

U lineárních zobrazení se m??e stát, ?e změna báze m??e vést k jednodu??ímu popisu zobrazení. Nap?íklad u rotace v $\mathbb {R} ^{3}$, kdy osa rotace není zarovnaná s ?ádnou ze sou?adnicovych os, m??e byt komplikované ur?it matici reprezentující tuto rotaci. Pokud by se v?ak osa rotace shodovala nap?. s osou $z'$ nějakého jiného sou?adného systému, pak lze rotaci jednodu?e reprezentovat maticí:

${\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix}}$,

kde $\alpha$ je úhel rotace. V tomto novém sou?adném systému by bylo mo?né rotaci spo?ítat pomocí vztahu:

${\boldsymbol {u}}'={\boldsymbol {Av}}'$,

kde ${\boldsymbol {v}}'$ a ${\boldsymbol {u}}'$ jsou sou?adnice vektor? takovych, ?e ${\boldsymbol {u}}'$ je obrazem ${\boldsymbol {v}}'$ p?i uvedené rotaci.

V p?vodním sou?adném systému má pro rotaci platit:

${\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {Bv}}$,

kde vektory ${\boldsymbol {u}}$ a ${\boldsymbol {v}}$ i neznámá matice zobrazení ${\boldsymbol {B}}$ jsou vyjád?eny vzhledem k p?vodnímu sou?adnému systému neboli bázi. Pro vypo?et matice ${\boldsymbol {B}}$ pomocí jednodu??í matice ${\boldsymbol {A}}$ lze vyjít z matice p?echodu ${\boldsymbol {R}}$, která p?evádí ${\boldsymbol {u}}$ a ${\boldsymbol {v}}$ od p?vodní k nové bázi tak, ?e ${\boldsymbol {u}}'={\boldsymbol {Ru}}$ a ${\boldsymbol {v}}'={\boldsymbol {Rv}}$. Potom platí:

${\begin{aligned}&&{\boldsymbol {u}}'&={\boldsymbol {Av}}'\\[1.6ex]&\Rightarrow &{\boldsymbol {Ru}}&={\boldsymbol {ARv}}\\[1.6ex]&\Rightarrow &{\boldsymbol {u}}&=\left({\boldsymbol {R}}^{-1}{\boldsymbol {AR}}\right){\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {Bv}}\end{aligned}}$

Matice v p?vodní bázi, ${\boldsymbol {B}}$, je tedy dána vztahem ${\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {R}}^{-1}{\boldsymbol {AR}}$. V d?sledku je mo?né vyjád?it matici rotace vzhledem k p?vodní bázi jako sou?in těchto t?í snadno odvoditelnych matic.

Obecně platí, ?e je-li $f$ lineární zobrazení z vektorového prostoru $V$ do $V$ reprezentováno maticí ${\boldsymbol {A}}$ vzhledem k bázi $B_{1}$, potom matice ${\boldsymbol {B}}$ tého? zobrazení $f$ vzhledem k bázi $B_{2}$ splňuje ${\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {R}}^{-1}{\boldsymbol {AR}}$, kde ${\boldsymbol {R}}$ je matice p?echodu od báze $B_{2}$ k bázi $B_{1}$. Matice ${\boldsymbol {R}}$ nejprve p?evede sou?adnice vektoru k bázi $B_{1}$, poté matice ${\boldsymbol {A}}$ provede zobrazení $f$ a nakonec ${\boldsymbol {R}}^{-1}$ p?evede sou?adnice zpět k bázi $B_{2}$.

Matice ${\boldsymbol {A}}$ a ${\boldsymbol {B}}$ p?edstavují stejné zobrazení $f$, jen v??i r?znym bázím.

Vlastnosti

Sou?in s regulární maticí zachovává hodnost, proto hodnost podobnych matic je shodná.

Jednotková matice je podobná pouze sama sobě, proto?e platí: $\mathbf {I} ={\boldsymbol {R}}\mathbf {I} {\boldsymbol {R}}^{-1}$.

Rela?ní vlastnosti

Ka?dá matice je podobná sama sobě, proto?e za ${\boldsymbol {R}}$ lze zvolit jednotkovou matici.

Je-li matice ${\boldsymbol {A}}$ podobná matici ${\boldsymbol {B}}$, lze ze vztahu ${\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {R}}^{-1}{\boldsymbol {AR}}$ odvodit ${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {RBR}}^{-1}={\boldsymbol {S}}^{-1}{\boldsymbol {BS}}$ pro ${\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {R}}^{-1}$ a tedy je i matice ${\boldsymbol {B}}$ podobná matici ${\boldsymbol {A}}$.

Jsou-li si matice ${\boldsymbol {A}}$ a ${\boldsymbol {B}}$ podobné a zároveň si jsou podobné i ${\boldsymbol {B}}$ a ${\boldsymbol {C}}$, je potom matice ${\boldsymbol {A}}$ podobná matici ${\boldsymbol {C}}$, proto?e substituce ${\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {R}}^{-1}{\boldsymbol {AR}}$ do vztahu ${\boldsymbol {C}}={\boldsymbol {S}}^{-1}{\boldsymbol {BS}}$ dává: ${\boldsymbol {C}}={\boldsymbol {(RS)}}^{-1}{\boldsymbol {A(RS)}}$.

Z uvedeného vyplyvá, ?e podobnost matic je reflexivní, symetrická a tranzitivní relace, a proto jde o ekvivalenci.

Charakteristicky polynom

Dvě navzájem podobné matice ${\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\in T^{n\times n}$ mají stejny charakteristicky polynom, co? p?ímo vyplyvá z vlastností determinantu vzhledem k sou?inu a inverzi matic:

${\begin{aligned}\chi _{\boldsymbol {B}}(\lambda )&=\det(\lambda \mathbf {I} -{\boldsymbol {B}})=\det(\lambda \mathbf {I} -{\boldsymbol {R}}^{-1}{\boldsymbol {AR}})=\det({\boldsymbol {R}}^{-1}\lambda \mathbf {I} {\boldsymbol {R}}-{\boldsymbol {R}}^{-1}{\boldsymbol {AR}})=\\&=\det({\boldsymbol {R}}^{-1}(\lambda \mathbf {I} -{\boldsymbol {A}}){\boldsymbol {R}})=\det {\boldsymbol {R}}^{-1}\cdot \det(\lambda \mathbf {I} -{\boldsymbol {A}})\cdot \det {\boldsymbol {R}}=\det(\lambda \mathbf {I} -{\boldsymbol {A}})=\chi _{\boldsymbol {A}}(\lambda ).\end{aligned}}$

Podobné matice proto mají shodné atributy, které lze z charakteristického polynomu odvodit:

• Determinant,
• stopu,
• vlastní ?ísla a jejich algebraické násobnosti (ale ne nutně vlastní vektory).

Opa?né tvrzení v?ak neplatí, proto?e nap?. matice ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ a ${\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ mají shodné charakteristické polynomy, ale nejsou si navzájem podobné.

Dal?í invarianty

Podobné matice mají dále shodné:

• Geometrické násobnosti vlastních ?ísel (ale ne vlastní prostory, které jsou transformovány podle pou?ité matice p?echodu ${\boldsymbol {R}}$ ),
• minimální polynomy,
• Frobeniovy normální formy,
• Jordanovy normální formy, a? na permutace Jordanovych blok? (jejich existence je zaru?ena jen pro algebraicky uzav?ená tělesa),
• index nilpotence,
• elementární dělitele, kte?í tvo?í úplnou sadu invariant? pro podobnost matic nad oborem hlavních ideál?.

Diagonalizovatelnost

O ?tvercové matici ${\boldsymbol {A}}$ ?ekneme, ?e je diagonalizovatelná, právě kdy? je podobná nějaké diagonální matici. Matice ?ádu $n$ je diagonalizovatelná, právě kdy? má $n$ lineárně nezávislych vlastních vektor?.

Ka?dá symetrická matice je diagonalizovatelná. Shoduje-li se po?et r?znych vlastních ?ísel matice s jejím ?ádem, je diagonalizovatelná. Obrácená implikace neplatí, proto?e nap?. ka?dá jednotková matice je diagonalizovatelná a p?itom tyto matice mají jen jedno vlastní ?íslo a to 1.

Normální formy matic

Pro danou matici ${\boldsymbol {A}}$ m??e byt vhodné nalézt její jednoduchou ?normální formu“ ${\boldsymbol {B}}$, která je podobná ${\boldsymbol {A}}$. Zkoumání některych vlastností ${\boldsymbol {A}}$ se pak redukuje na jednodu??í matici ${\boldsymbol {B}}$, jako nap?íklad zkoumání vlastností diagonalizovatelnych matic lze redukovat na diagonální matice.

Ne v?echny matice jsou diagonalizovatelné, nap?íklad matice ${\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ není podobná ?ádné diagonální matici.

Na druhou stranu, ka?dá komplexní matice (resp. ka?dá matice nad libovolnym algebraicky uzav?enym tělesem ) je podobná ?témě? diagonální matici“ – tzv. Jordanově normálním tvaru. Navíc platí, ?e dvě komplexní matice si jsou podobné právě kdy? mají stejnou Jordanovu normální formu (a? na po?adí buněk). Jordanova normální forma proto ?e?í problém invariance pro podobnost komplexních matic.

Ani jedna z těchto forem není jednozna?ná (diagonální prvky, resp. Jordanovy bloky mohou byt permutovány), tak?e se ve skute?nosti nejedná o normální formy. Jejich ur?ení navíc závisí na schopnosti provést rozklad minimálního nebo charakteristického polynomu matice ${\boldsymbol {A}}$ na lineární ?leny (ekvivalentně ur?it její vlastní ?ísla).

Frobeniova normální forma tyto nevyhody nemá: existuje nad libovolnym tělesem, je jednozna?ná a lze ji vypo?ítat pouze pomocí aritmetickych operací v daném tělese. Matice ${\boldsymbol {A}}$ a ${\boldsymbol {B}}$ jsou podobné tehdy a jen tehdy, mají-li stejnou Frobeniovu normální formu. Frobeniova normální forma je ur?ena elementárními děliteli ${\boldsymbol {A}}$. Tyto lze p?ímo vy?íst z Jordanova tvaru, ale lze je také ur?it p?ímo pro libovolnou matici vypo?tem Smithovy normální formy.

Dal?í vlastnosti

Podobnost matic nezávisí na vychozím tělese v následujícím smyslu: je-li $T$ podtěleso tělesa $S$ a matice ${\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}$ jsou definovány nad $T$, pak si jsou navzájem podobné nad $T$, právě kdy? si jsou podobné jako matice nad $S$, proto?e Frobeniova normální forma nad $T$ je také Frobeniova normální forma nad $S$.

V d?sledku uvedeného je mo?né, aby k rozhodnutí, zdali si jsou dané matice nad tělesem $T$ podobné, pou?ít i jejich Jordanovy tvary, jejich? existence m??e byt zaru?ena pouze nad vhodnym nadtělesem $S$.

Pokud lze v definici podobnosti zvolit matici ${\boldsymbol {R}}$ jako permuta?ní matici, pak si jsou ${\boldsymbol {A}}$ a ${\boldsymbol {B}}$ permuta?ně podobné. Jestli?e lze ${\boldsymbol {R}}$ zvolit jako unitární matici, pak jsou ${\boldsymbol {A}}$ a ${\boldsymbol {B}}$ unitárně ekvivalentní. Podle spektrální věty je ka?dá normální matice unitárně ekvivalentní vhodné diagonální matici.

Odkazy

Reference

V tomto ?lánku byly pou?ity p?eklady text? z ?lánk? Matrix similarity na anglické Wikipedii a ?hnlichkeit (Matrix) na německé Wikipedii.

Literatura

• BE?Vá?, Jind?ich. Lineární algebra. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
• HLADíK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39. 
• OL?áK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2025-08-14]. Dostupné online. 
• MOTL, Lubo?; ZAHRADNíK, Milo?. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2025-08-14]. Dostupné online. 

Související ?lánky

• Kongruence matic
• Lineární zobrazení
• Vlastní vektory a vlastní ?ísla

Externí odkazy

Portály: Matematika