猪胰是什么东西

Harmonická funkce definovaná na mezikru?í. Harmonické funkce jsou právě ty funkce, které le?í v jádru Laplaceova operátoru, ktery je d?le?itym diferenciálním operátorem.

百度 图片说明：参观东方网。

Diferenciální operátor v matematice je operátor definovany jako funkce operátoru derivace. Je u?ite?ny p?edev?ím jako prost?edek zápisu, ktery bere derivaci jako abstraktní operaci, která dostane funkci a vrátí jinou funkci (ve stylu funkce vy??ího ?ádu v matematické informatice).

Nej?astěji pou?ívané diferenciální operátory jsou lineární, ale existují i nelineární diferenciální operátory, jako nap?íklad Schwarzovská derivace.

Definice

P?edpokládejme, ?e existuje zobrazení $A$ z prostoru funkcí ${\mathcal {F}}_{1}$ do prostoru funkcí ${\mathcal {F}}_{2}$, a ?e funkce $f\in {\mathcal {F}}_{2}$, taková, ?e $f$ je obrazem $u\in {\mathcal {F}}_{1}$ tj. 　$f=A(u)\ .$ Diferenciální operátor (anglicky differential operator) je reprezentován jako lineární kombinace kone?ně generovaná $u$ a jeho derivacemi vy??ího stupně jako nap?íklad

$P(x,D)=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }\ ,$

kde mno?ina $\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})$ nezápornych celych ?ísel se nazyvá multi-index, $|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}$ se nazyvá délka, $a_{\alpha }(x)$ jsou funkce ne nějakém otev?eném defini?ním oboru v n-rozměrném prostoru a $D^{\alpha }=D^{\alpha _{1}}D^{\alpha _{2}}\cdots D^{\alpha _{n}}\ .$ Vy?e uvedená derivace je stejná jako funkce, p?ípadně distribuce nebo hyperfunkce a $D_{j}=-i{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}$ p?ípadně $D_{j}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}$ .

Zápisy

Nejobvyklej?ím diferenciálním operátorem je samotny operátor provedení derivace. Nejobvyklej?ími zápisy pro provedení první derivace podle proměnné x jsou:

${d \over dx},D,\,D_{x}\,$ a $\partial _{x}.$

Pro derivace n-tého ?ádu se pou?ívají operátory:

${d^{n} \over dx^{n}},$ $D^{n}\,$ nebo $D_{x}^{n}.\,$

Derivace funkce f argumentu x se zapisuje takto:

$[f(x)]'\,\!$

nebo takto:

$f'(x).\,\!$

Autorem zápisu pomocí D je Oliver Heaviside, ktery ve své studii o diferenciálních rovnicích pracoval s diferenciálními operátory tvaru

$\sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}$

Mezi nejpou?ívaněj?í diferenciální operátory pat?í Laplace?v operátor definovany vztahem

$\Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{k}^{2}}.$

Dal?ím diferenciálním operátorem je operátor Θ nebo theta operátor, definovany jako

$\Theta =z{d \over dz}.$

Tento operátor se někdy nazyvá operátor homogenity, proto?e jeho vlastní funkce jsou jedno?leny proměnné z:

$\Theta (z^{k})=kz^{k},\quad k=0,1,2,\dots$

Operátor homogenity pro n proměnnych je

$\Theta =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}.$

Jako v p?ípadě jedné proměnné, vlastní prostory operátoru Θ jsou prostory homogenních polynom?.

Podle obvyklych matematickych konvencí se argument diferenciálního operátoru obvykle pí?e vpravo od operátoru. Někdy se pou?ívá alternativní notace: vysledek pou?ití operátoru na funkci vlevo od operátoru a vpravo od operátor a rozdíl získany pou?itím diferenciálního operátor na funkce na obou stranách se ozna?uje pomocí ?ipek takto:

$f{\overleftarrow {\partial _{x}}}g=g\cdot \partial _{x}f$

$f{\overrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g$

$f{\overleftrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g-g\cdot \partial _{x}f.$

Tato notace se se ?asto pou?ívá pro popis proudu pravděpodobnosti v kvantové mechanice.

Nabla

Podrobněj?í informace naleznete v ?lánku Nabla.

D?le?itym vektorovym diferenciálním operátorem je operátor nabla. Ve fyzice se ?asto pou?ívá nap?íklad pro zápis diferenciálního tvaru Maxwellovych rovnic. V trojrozměrné Kartézské soustavě sou?adnic je operátor nabla definován takto:

$\nabla =\mathbf {\hat {x}} {\partial \over \partial x}+\mathbf {\hat {y}} {\partial \over \partial y}+\mathbf {\hat {z}} {\partial \over \partial z}.$

Symbol nabla se pou?ívá pro vypo?et gradientu, rotace, divergence a Laplaceova operátoru r?znych objekt?.

Adjunkce operátor?

Související informace naleznete také v ?lánku sdru?eny operátor.

Je-li dán lineární diferenciální operátor T

$Tu=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}u$

sdru?eny operátor tohoto operátoru se definuje jako operátor $T^{*}$ takovy, ?e

$\langle Tu,v\rangle =\langle u,T^{*}v\rangle$

kde zápis $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ se pou?ívá pro skalární sou?in nebo vnit?ní sou?in. Tato definice proto závisí na definici skalárního sou?inu.

Formální adjunkt jedné proměnné

Ve funkcionálním prostoru funkcí integrovatelnych na obdélníku je skalární sou?in definován vztahem

$\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)\,{\overline {g(x)}}\,dx,$

kde pruh nad g(x) ozna?uje hodnotu komplexně sdru?enou ke g(x). Jestli?e navíc p?idáme podmínku, ?e f nebo g je zanedbatelné pro $x\to a$ a $x\to b$, m??eme také definovat adjunkt operátoru T vztahem

$T^{*}u=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}D^{k}[{\overline {a_{k}(x)}}u].\,$

Tento vzorec neexplicitně závisí na definici skalárního sou?inu. Proto se někdy pou?ívá jako definice sdru?eného operátoru. Pokud se $T^{*}$ definuje tímto vzorcem, nazyvá se formální adjunkt operátoru T.

(Formálně) samoadjungovany operátor je operátor rovny své adjunkci.

Více proměnnych

Jestli?e Ω je defini?ní obor v Rⁿ a P je diferenciální operátor na Ω, pak adjunkt operátoru P je definovany v L²(Ω) dualitou analogicky:

$\langle f,P^{*}g\rangle _{L^{2}(\Omega )}=\langle Pf,g\rangle _{L^{2}(\Omega )}$

pro v?echny hladké L² funkce f, g. Proto?e hladké funkce jsou husté v L², je takto definován adjunkt na husté podmno?ině L²: P^* je hustě definovany operátor.

P?íklad

Sturm?v–Liouville?v operátor je dob?e známym p?íkladem formálního samoadjungovaného operátoru. Tento lineární diferenciální operátor druhého ?ádu L lze zapsat ve tvaru

$Lu=-(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p)D^{2}u+(-p')Du+(q)u.\;\!$

Tuto vlastnost lze dokázat pomocí definice formálního adjunktu uvedené vy?e.

${\begin{aligned}L^{*}u&{}=(-1)^{2}D^{2}[(-p)u]+(-1)^{1}D[(-p')u]+(-1)^{0}(qu)\\&{}=-D^{2}(pu)+D(p'u)+qu\\&{}=-(pu)''+(p'u)'+qu\\&{}=-p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu\\&{}=-p'u'-pu''+qu\\&{}=-(pu')'+qu\\&{}=Lu\end{aligned}}$

Tento operátor je úst?edním pojmem Sturmovy–Liouvilleovy teorie, která pracuje s vlastními funkcemi, co? je obdoba vlastních vektor?.

Vlastnosti diferenciálních operátor?

Derivování je lineární, tj.

$D(f+g)=(Df)+(Dg)\,$

$D(af)=a(Df)\,$

kde a je konstanta a f a g jsou funkce.

Jakykoli polynom v D s funk?ními koeficienty je také diferenciální operátor. Diferenciální operátory m??eme také skládat podle pravidla

$(D_{1}\circ D_{2})(f)=D_{1}(D_{2}(f)).\,$

P?itom je nutné dávat pozor:

• Za prvé, libovolné funk?ní koeficienty v operátoru D₂ musí byt diferencovatelné tolikrát, kolikrát vy?aduje aplikace operátoru D₁. Abychom získali okruh takovych operátor?, musíme p?edpokládat, ?e se pou?ívá derivace v?ech ?ád? koeficient?.
• Za druhé, tento okruh nebude komutativní: operátor gD není obecně toté? jako Dg. Nap?íklad v kvantové mechanice je základní následující vztah:

$Dx-xD=1.\,$

Podokruh operator?, které jsou polynomy v D s konstantními koeficienty, naopak komutativní je. M??e byt charakterizován jinak: skládá se z transla?ně invariantních operátor?.

Pro diferenciální operátory platí věta o translaci (anglicky shift theorem).

Více proměnnych

Stejnou konstrukci m??eme uplatnit na parciální derivace, podle r?znych proměnnych, ?ím? dostáváme operátory, které komutují (viz symetrie druhé derivace).

Okruh polynomiálních diferenciálních operátor?

Okruh jednorozměrnych polynomiálních diferenciálních operátor?

Jestli?e R je okruh, nech? $R\langle D,X\rangle$ je nekomutativní polynomiální okruh nad R v proměnná D a X a I oboustranny ideál generovany DX-XD-1, pak okruh jednorozměrnych polynomiálních diferenciálních operátor? nad R je podílovy okruh $R\langle D,X\rangle /I$. Co? je nekomutativní jednoduchy okruh. Ka?dy prvek lze jednozna?ně zapsat jako R-lineární kombinaci jedno?len? tvaru $X^{a}D^{b}\mod {I}$. To podporuje analogii Eukleidova algoritmu pro dělení polynom?.

Diferenciální moduly nad $R[X]$ (pro standardní derivaci) mohou byt identifikovány s moduly nad $R\langle D,X\rangle /I$.

Okruh vícerozměrnych polynomiálních diferenciálních operátor?

Jestli?e R je okruh, nech? $R\langle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}\rangle$ je nekomutativní polynomiální okruh nad R v proměnné $D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}$ a I oboustranny ideál generovany prvky $D_{i}X_{j}-X_{i}D_{j}-\delta _{i,j},D_{i}D_{j}-D_{j}-D_{i},X_{i}X_{j}-X_{j}X_{i}$ pro v?echny $1\leq i,j\leq n$ kde $\delta$ je Kroneckerovo delta, pak okruh vícerozměrnych polynomiálních diferenciálních operátor? nad R je podílovy okruh $R\langle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}\rangle /I$.

Co? je nekomutativní jednoduchy okruh. Ka?dy prvek lze jednozna?ně zapsat jako R-lineární kombinaci jedno?len? tvaru $X_{1}^{a_{1}}\ldots X_{n}^{a_{n}}D_{1}^{b_{1}}\ldots D_{n}^{b_{n}}$.

Vztah ke komutativní algeb?e

Ekvivalentní, ale ?istě algebraicky popis lineárního diferenciálního operátoru je tento: R-lineární zobrazení P je lineární diferenciální operátor k-tého ?ádu, jestli?e pro libovolnou k + 1 hladkou funkci $f_{0},\ldots ,f_{k}\in C^{\infty }(M)$ máme

$[f_{k},[f_{k-1},[\cdots [f_{0},P]\cdots ]]=0.$

kde závorka $[f,P]:\Gamma (E)\rightarrow \Gamma (F)$ je definována jako komutátor

$[f,P](s)=P(f\cdot s)-f\cdot P(s).\,$

Tato charakterizace lineárních diferenciálních operátor? ukazuje, ?e jsou jistymi zobrazeními mezi moduly nad komutativní algebrou, dovolující koncept, aby byla chápána jako ?ást komutativní algebry.

P?íklady

• Ve fyzice hrají operátory jako nap?íklad Laplace?v operátor hlavní roli p?i sestavování a ?e?ení parciálních diferenciálních rovnic.
• Operátory vněj?í derivace a Lieovy derivace mají stě?ejní vyznam v diferenciální topologii.
• Koncept derivace v abstraktní algeb?e umo?ňuje zobecnění diferenciálních operátor?, které nevy?adují pou?ití diferenciálního po?tu. ?asto se taková zobecnění pou?ívají v algebraické geometrii a v komutativní algeb?e. Související ?lánky jet (matematika).
• P?i rozvoji holomorfních funkcí komplexních proměnnych z = x + i y, někdy komplexní funkci pova?ujeme za funkci dvou reálnych proměnnych x a y. Pou?ití se provede Wirtingerovymi derivacemi, co? jsou parciální diferenciální operátory:

${\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\quad ,\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ .$

Tento p?ístup se také pou?ívá pro studium funkcí více komplexních proměnnych a funkcí operátoru motor proměnná.

Historie

Samostatny zápis diferenciálního operátoru za?al pou?ívat Louis Fran?ois Antoine Arbogast v roce 1800.

Související ?lánky

• Diferen?ní operátor
• Operátor delta
• Elipticky operátor
• Fractional po?et
• Invariantní diferenciální operátor
• Diferenciální po?et nad komutativními algebrami
• Lagrangeovsky systém
• Spektrální teorie
• Operátor energie
• Operátor hybnosti
• Hamilton?v operátor
• Operátor DBAR

Reference

V tomto ?lánku byl pou?it p?eklad textu z ?lánku Differential operator na anglické Wikipedii.

Externí odkazy

• HAZEWINKEL, Michiel. Encyclopedia of Mathematics. New York: Springer, 2001. Dostupné online. ISBN 978-1-55608-010-4. Kapitola Differential operator. ^{[nedostupny zdroj]}

Autoritní data	NKC: ph119441 BNF: cb11977705n (data) GND: 4012251-7 LCCN: sh85037921 NLI: 987007552908205171

Portály: Matematika