体育--四川频道--人民网

百度 除此之外，Notebook9Pen还支持企业级生物安全识别（IR面部登陆或指纹登录）、私密文件夹等功能。

Hamilton?v operátor (Hamiltonián) je diferenciální operátor na Hilbertově prostoru komplexních vlnovych funkcí. Je pojmenován po siru W. R. Hamiltonovi a zna?í se ${\hat {H}}$. Hamiltonián (tímto pojmem se také ozna?uje p?vodní Hamiltonova funkce v klasické mechanice) je operátor energie v kvantové mechanice, ktery ve vět?ině p?ípad? odpovídá celkové energii soustavy. Jeho vyznam je dán spojitostí s popisem ?asového vyvoje v kvantové mechanice, viz Schr?dingerova rovnice. Dále pak tím, ?e mo?né hodnoty energie, kterych m??e nabyt systém popsany hamiltoniánem ${\hat {H}}$, pat?í do jeho spektra.

Odvození klasického tvaru

Pro bodovou ?ástici je její celková mechanická energie sou?tem kinetické a potenciální energie. Operátor kinetické energie získáme dosazením operátoru hybnosti (${\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla$) do klasického vztahu $T={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} ^{2}={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}$. Hamiltonián pak m??eme zapisovat vyhodně ve tvaru

${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +V\,,$

kde $m$ je hmotnost ?ástice, $\Delta =\nabla ^{2}=\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)$ je Laplace?v operátor a $V=V({\mathbf {r} },t)$ je potenciální energie silového pole, v něm? se ?ástice pohybuje. Hamiltonián v této podobě je klí?ovou sou?ástí Schr?dingerovy rovnice. Ta popisuje vyvoj vlnové funkce v ?ase, ktery interpretujeme jako pohyb ?ástice, jde tedy o kvantovou rovnici pohybu.

Spektrum

Spektrum Hamiltoniánu vyjad?uje mo?né hodnoty energie ?ástice. Nap?íklad pro elektron v elektrickém poli protonu známe pr?běh potenciální energie z Coulombova zákona. Hamiltonián má tedy tvar

${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\Delta -{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{r}}\,,$

kde $m_{e}$ je hmotnost elektronu, $e$ je elektricky náboj elektronu, $\pi$ je Ludolfovo ?íslo, $\varepsilon _{0}$ je permitivita vakua a $r$ je vzdálenost od protonu. Spektrum tohoto operátoru dává mo?né energie

$E_{n}=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{2a_{B}}}{\frac {1}{n^{2}}}\,,$

kde $a_{B}$ je tzv. Bohr?v poloměr (0,53×10^?10 m) a $n$ je kvantové ?íslo. Rozdíly mezi těmito hladinami p?esně odpovídají pozorovanému absorp?nímu spektru nejjednodu??ího prvku v p?írodě - vodíku. Záporné znaménko energie odpovídá vázanému stavu - na ionizaci atomu vodíku v základním stavu je t?eba dodat kladnou energii E₁=2,179×10^?18 J.

Relativistická verze

Schr?dingerova rovnice s vy?e uvedenym vyrazem pro Hamiltonián není invariantní v??i Lorentzově transformaci, tak?e je nesprávná z hlediska teorie relativity. V relativistické mechanice je vyraz pro energii slo?itěj?í, tak?e musí byt modifikován i Hamiltonián. Jeden z mo?nych p?ístup? k tomuto zp?esnění lze nalézt v hesle Diracova rovnice, kde je i relativisticky opraveny vyraz pro Hamiltonián.

${\hat {H}}=\,\gamma _{0}m+\sum _{j=1}^{3}\gamma _{j}p_{j}\,,$

kde $p_{j}$ jsou sou?adnice vektoru hybnosti a $\gamma _{i}$ jsou vhodně zvolené matice. V Diracově (standardní) reprezentaci jsou to matice

$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}}\,,$

$\gamma ^{i}={\begin{pmatrix}0&{\sigma }_{i}\\-{\sigma }_{i}&0\end{pmatrix}}\,.$

${\sigma }_{i}$ jsou p?itom Pauliho matice a $I$ zna?í jednotkovou matici 2×2.

Komutování s jinymi operátory

Související informace naleznete také v ?lánku Komutátor (algebra).

Vodíkovy hamiltonián (nebo hamiltonián vodíku podobného atomu, tzn. s jedním elektronem) uvedeny vy?e komutuje s operátory kvadrátu momentu hybnosti L² a ka?dou jeho slo?kou. Jednotlivé slo?ky momentu hybnosti ale nekomutují mezi sebou, proto je ?e?ení atom? ur?eno t?emi kvantovymi ?ísly.

Víceelektronové atomy mají hamiltonián skládající se z několika jednoelektronovych a dále pak z ?len? odpovídající vzájemné coulombické interakci mezi jednotlivymi elektrony. Nap?. Lithium má hamiltonián

${\hat {H}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\Delta _{1}-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{r_{1}}}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\Delta _{2}-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{r_{2}}}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\Delta _{3}-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{r_{3}}}\right)+$

$+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{r_{12}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{r_{13}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{r_{23}}}$

S tímto hamiltoniánem komutují operátory orbitálního momentu hybnosti $L=L_{1}+L_{2}+L_{3}$ (co? plyne z vyjád?ení ${\overrightarrow {L}}={\overrightarrow {r}}\times {\overrightarrow {p}}$ a z toho, ?e ${\overrightarrow {r}}\times {\overrightarrow {n}}={\overrightarrow {0}}$) i $L_{z}=L_{z1}+L_{z2}+L_{z3}$, opět máme tedy t?i kvantová ?ísla.

Dále Hamiltonián ?asto komutuje s operátory spin? nebo prohození ?ástic.

Literatura

• HRIV?áK, DANIEL. DIFERENCIáLNí OPERáTORY VEKTOROVé ANALYZY. [s.l.]: OSTRAVSKá UNIVERZITA, 2002. Dostupné v archivu po?ízeném dne 2025-08-14. 

Související ?lánky

• Divergence (operátor)
• Rotace (operátor)
• Gradient (matematika)
• Laplace?v operátor
• Hamiltonova funkce

Autoritní data	GND: 4072278-8 LCCN: sh85058562 NDL: 00562880 NLI: 987007548217205171